人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3 三角函数的诱导公式

第一章 三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
知识
1．诱导公式的内容
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）
cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z）
tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）= –sinα
cos（π+α）=–cosα
tan（π+α）= tanα
公式三： 任意角α与–α的三角函数值之间的关系（利用原函数奇偶性）：
sin（–α）=–sinα
cos（–α）= cosα
tan（–α）=–tanα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π–α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π–α）= sinα
cos（π–α）=–cosα
tan（π–α）=–tanα
公式五：任意角α与–α的三角函数值之间的关系：
sin（–α）=cosα
cos（–α）=sinα
公式六： 任意角α与+α的三角函数值之间的关系：
sin（+α）=cosα
cos（+α）=–sinα
推算公式：±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（+α）=–cosα
sin（–α）=–cosα
cos（+α）=sinα
cos（–α）=–sinα
2．诱导公式的规律
三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．
其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角 所在象限________的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．
3．诱导公式的作用
诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：


知识参考答案：
2．不变 锐角 原三角函数值 3．锐角
重点
重点
掌握诱导公式的内容和规律．
难点
1．诱导公式的作用；
2．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．
易错
诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．
1．诱导公式的简单应用
x
函数
sinx
cosx
tanx
－α
－sinα
cosα
－tanα
±α
cosα
?sinα
π±α
?sinα
－cosα
±tanα
±α
－cosα
±sinα
2π±α
±sinα
cosα
±tanα
【例1】sin585°的值为
A．－ B． C．－ D．
【答案】A
【解析】sin585°=sin（360°+180°+45°）=sin（180°+45°）=－sin45°=－．故选A．
【名师点睛】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．
【例2】已知，若是第二象限角，则=
A． B．5 C． D．10
【答案】D
【名师点睛】（1）化简三角函数式的结果要求所含三角函数名称最少，次数最低，含有特殊角的要写出出函数值．
（2）对含有kπ±α（k∈Z）形式的角，要对k的奇偶性分类讨论．
2．应用诱导公式的思路与技巧
（1）应用诱导公式的一般思路
①化大角为小角；
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
（2）常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：–α与+α；+α与–α；+α与–α等．
②常见的互补的角：+θ与–θ；+θ与–θ等．
【例3】下列关系式中正确的是
A．sin11°C．sin11°【答案】C
【解析】∵cos10°=sin80°，sin168°=sin（180°–12°）=sin12°，∴sin11°【例4】求证：=–tanα
【答案】答案详见解析
【解析】左边==–tanα=右边，∴等式成立．
【名师点睛】解决恒等式的证明问题关键是灵活应用诱导公式，将各三角函数化成同角的三角函数，从一边向另一边推导，或证明两边都等于同一个式子．
基础训练
1．cos（π+x）=
A．cosx B．–cosx C．sinx D．–sinx
2．tan390°的值等于
A． B． C．– D．–
3．若cos（）=，则sin（α+）的值为
A．– B．– C． D．
4．已知α为锐角，且，则cos（3π+α）=
A． B． C． D．
5．已知cos（π+θ）=，<θ<π，则cos（+θ）的值为
A．– B． C．– D．
6．cos=
A． B．– C． D．–
7．已知，则cos（π–α）=
A． B． C． D．
8．已知，则
A． B．
C． D．
9．已知，那么sin（π–α）等于
A． B． C． D．
10．tan（–675°）的值为
A．1 B．– C． D．–1
11．如果，那么tanα等于
A． B． C． D．
12．已知，则sin（–2π–α）=____________．
13．已知sin（+α）=，α∈（0，），则sin（π+α）=____________．
能力提升
14．已知，则cos（60°–α）的值为
A． B． C． D．–
15．如果A为锐角，=
A． B．
C． D．
16．若且，则sin（π–α）
A． B．
C． D．
17．已知，则=
A． B． C． D．
18．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x–y=0上，则
=
A．–2 B．2 C．0 D．
19．化简；
（1）
（2）cos20°+cos160°+sin1866°–sin（–606°）
20．计算：sin+tan（）
21．已知f（α）=
（1）化简f（α）
（2）若α是第二象限角，且cos（+α）=–，求f（α）的值．
22．已知α为第三象限角，
（1）化简f（α）
（2）若，求f（α）的值．
23．已知tan（π–α）=–3，求下列式子的值：
（1）tanα；
（2）．
24．（1）化简：；
（2）已知，求的值
真题练习
25．（2019上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x–）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=___________．
27．（2018上海）设a1、a2∈R，且，则|10π–a1–a2|的最小值等于___________．
28．（2019四川模拟）sin750°=___________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
D
B
C
D
A
C
C
A
11
14
15
16
17
18
25
A
C
D
B
B
B
B
1．【答案】B
【解析】cos（π+x）=–cosx．故选B．
2．【答案】A
【解析】tan390°=tan30°=．故选A．
3．【答案】D
【解析】若cos（）=，则sin（α+）=cos[–（α+）]=cos（）=，故选D．
6．【答案】D
【解析】cos=–cos=–，故选D．
7．【答案】A
【解析】，则cos（π–α）=–cosα=–．故选A．
8．【答案】C
【解析】∵已知，∴sin（α+）=cosα=，故选C．
9．【答案】C
【解析】已知，那么sin（π–α）=sinα=，故选C．
10．【答案】A
【解析】tan（–675°）=–tan675°=–tan（720°–45°）=tan45°=1．故选A．
11．【答案】A
【解析】，可得sinα=，cosα=，tanα=．故选A．
12．【答案】
【解析】∵，∴sinα=–，∴sin（–2π–α）=–sin（2π+α）=–sinα=．故答案为：．
13．【答案】–
【解析】∵sin（+α）=cosα=，α∈（0，），∴sinα=，则sin（π+α）=–sinα=–，故答案为：–．
16．【答案】B
【解析】∵cos（2π–α）=cosα=，α∈（–，0），∴sinα=–=–，则sin（π–α）=sinα=–．故选B．
17．【答案】B
【解析】∵，∴，故选B．
18．【答案】B
【解析】由已知可得，tanθ=2，则原式==2．故选B．
19．【答案】（1）–1；（2）0．
【解析】（1）原式==–1；
（2）原式=cos20°–cos20°+sin（5×360°+66°）–sin（–2×360°+114°）
=sin66°–sin114°
=sin66°–sin（180°–66°）
=sin66°–sin66°
=0．
20．【答案】–1
【解析】sin+tan（）
=
=．
21．【答案】（1）f（α）=cosα；（2）．
【解析】（1）f（α）==cosα．
（2）α是第二象限角，且cos（+α）=–sinα=–，∴sinα=，
∵α是第二象限角，
∴．
22．【答案】（1）f（α）=–cosα；（2）f（α）=．
【解析】（1）∵α为第三象限角，
∴
==–cosα．
（2）∵，
∴–sinα=，解得sinα=–，
∴可得cosα=–=–．
∴f（α）=–cosα=．
23．【答案】（1）3；（2）–4．
【解析】（1）∵tan（π–α）=–tanα=–3，∴tanα=3．
（2）
=–4．
24．【答案】（1）1；（2）0．
【解析】（1）=1．
（2）∵，
∴
=–cos（–θ）+sin（+θ）=–a+cos（–θ）=–a+a=0．
25．【答案】B
【解析】∵对于任意实数x都有sin（3x–）=sin（ax+b），则a=±3．若a=3，此时sin（3x–）=sin（3x+b），此时b=–+2π=，若a=–3，则方程等价为sin（3x–）=sin（–3x+b）=–sin（3x–b）=sin（3x–b+π），则–=–b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（–3，），共有2组，故选B．
26．【答案】
【解析】∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ–α）=sinα=．故答案为：．
28．【答案】
【解析】sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，故答案为：．