人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.4.3 正切函数的性质与图象

第一章 三角函数
1.4.3 正切函数的性质与图象
知识
一、正切函数的性质
1．周期性
由诱导公式可知，，因此 是正切函数的一个周期.
一般地，函数的最小正周期.
2．奇偶性
正切函数的定义域为,关于原点对称，由于
，因此正切函数是 .
3．单调性和值域
单位圆中的正切线如下图所示.
利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：
角x
正切线AT
增函数
增函数
由上表可知正切函数在,上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为
.此外由其变化趋势可知正切函数的值域为或，因此正切函数 最值.
二、正切函数的图象
利用正切线作出函数的图象（如图）.
作法如下：
(1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆.
(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.
(3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）
(4)连线.
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数，且的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).
正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.
知识参考答案：
一、1． 2．奇函数 3．没有
重点
重点
正切函数的性质与图象
难点
正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用
易错
不能正确利用正切函数的图象与性质解题
1．正切函数的性质
熟练掌握正切函数的性质：
(1)定义域：；
(2)值域：；
(3)最小正周期：；
(4)奇偶性：奇函数；
(5)单调性：在每一个开区间内均为增函数.
【例1】下列函数中，最小正周期为的是
A．y＝sin(2x－)　 B．y＝tan(2x－)
C．y＝cos(2x＋) D．y＝tan(4x＋)
【答案】B
【解析】函数y＝tan(2x－)的最小正周期T＝，故选B．
【例2】求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.
【解析】由得()，
所以所求函数的定义域为，}；
值域为；
函数的定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数又不是偶函数；
正切函数在区间上为增函数，
因此令，解得,
即函数的单调递增区间为.
【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.
【名师点睛】（1）正切函数的定义域为，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.
（2）求函数的单调区间时，将视为整体，代入函数的单调区间即可，注意的符号对单调区间的影响.
2．正切函数的性质的应用
（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.
（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化.
【例3】比较下列各组数的大小：
（1）与； （2）.
【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．
（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理．
【例4】求函数y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈[，]的值域．
【解析】由x∈[，]，得tanx∈[1，]，令tanx＝t，则t∈[1，]．
∴y＝－tan2x＋10tanx－1＝－t2＋10t－1＝－(t－5)2＋24.
由于1≤t≤，
∴8≤y≤10－4，
故函数的值域是[8,10－4]．
【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解.
3．正切函数的图象及其应用
（1）的周期性：
函数及的周期是其对应函数周期的一半，而函数的图象是把在x轴下方的图象翻折到x轴上方，但其周期与的周期相等，均为π.
（2）解三角不等式的方法一般有两种：
一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；
二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用.
【例5】作出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间．
【答案】B
【解析】y＝|tanx|＝，其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan x|的最小正周期T＝π，
单调增区间的(k∈Z)；单调减区间为(k∈Z)．
【名师点睛】要作出函数y＝|tan x|的图象，可先作出y＝tan x的图象，然后将其在x轴上方的图象保留，而将其在x轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x轴对称的图象)，就可得到y＝|tan x|的图象．
【例6】求下列函数的定义域：
（1）函数y＝＋lg(1－tanx)； （2）函数y＝tan(sinx)．
（2）∵对任意x∈R，－1≤sinx≤1，
∴函数y＝tan(sinx)总有意义，
故函数y＝tan(sinx)的定义域为R.
4．正确利用函数性质求解
【例7】若函数y＝tan(2x＋θ)的图象的一个对称中心为(，0)，且－<θ<，则θ的值是________．
【错解】因为函数y＝tanx的图象的对称中心为(kπ，0)，其中k∈Z，所以2x＋θ＝kπ，其中x＝.
所以θ＝kπ－，k∈Z.由于－<θ<，∴k＝1时，θ＝π－＝.
【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(kπ，0)(其中k∈Z)，但由正切函数的图象发现：点(kπ＋，0)(其中k∈Z)也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(，0)(其中k∈Z)．
【答案】－或.
【正解】易知函数y＝tanx的图象的对称中心为(，0)，其中k∈Z，
所以2x＋θ＝，其中x＝，即θ＝－，k∈Z.
因为－<θ<，
所以当k＝1时，θ＝－；当k＝2时，θ＝.即θ＝－或.
基础训练
1．函数y=tanx在其定义域上的奇偶性是
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇且偶的函数 D．非奇非偶的函数
2．函数y=tan（–x）（）的值域为
A．[–1，1] B．[–1，+∞）
C．（–∞，1） D．（–∞，–1]∪[1，+∞）
3．函数的定义域是
A． B．
C． D．
4．函数t=tan（3x+）的图象的对称中心不可能是
A．（–，0） B．（，0）
C． D．
5．函数的单调递增区间为
A． B．（kπ，kπ+π）（k∈Z）
C． D．
6．下列关于函数y=tan（x+）的说法正确的是
A．在区间（–，）上单调递增 B．最小正周期是π
C．图象关于点（，0）成中心对称 D．图象关于直线x=成轴对称
7．函数f（x）=tanx在上的最小值为___________．
8．已知，且1+tanα≥0，则角α的取值范围是___________．
9．函数f（x）=5tan（3x+）+2的最小正周期T=___________．
10．函数y=3tan（+）的最小正周期为___________．
11．观察正切曲线，满足条件tanx>1的x的取值范围是___________．
12．求函数y=tan（）的定义域、单调区间和对称中心．
13．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x的取值范围．
（1）－（2）3tanx－≥0.
能力提升
14．下列各式中正确的是
A．tanπ>tanπ B．tan（–π）C．tan4>tan3 D．tan281°>tan665°
15．直线y=–1与y=tanx的图象的相邻两个交点的距离是
A． B．π
C．2π D．与a的值的大小有关
16．函数y＝tan在一个周期内的大致图象是
17．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(，0)，则φ可以是
A．－ B．
C．－ D．
18．函数y=tan（sinx）的值域为
A．[–，] B．[–，]
C．[–tan1，tan1] D．以上均不对
19．判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
20．设函数．
（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求不等式–1≤f（x）≤的解集．
21．求函数y=tan（3x–）的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
22．若函数f(x)＝tan2x－atanx(|x|≤)的最小值为－6，求实数a的值．
23．已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
（2）试比较与的大小．
参考答案
1
2
3
4
5
6
14
15
16
17
18
A
D
A
C
D
B
C
B
A
A
C
1．【答案】A
【解析】正切函数y=tanx的定义域是（–+kπ，+kπ）k∈Z，定义域关于原点对称，且对于定义域内的任意x，满足f（–x）=tan（–x）=–tanx=–f（x），所以函数y=tanx在其定义域上是奇函数．故选A．
3．【答案】A
【解析】=–tan（2x–），要使原函数有意义，则，解得，k∈Z，∴函数的定义域是，故选A．
4．【答案】C
【解析】因为正切函数y=tanx图象的对称中心是（，0），k∈Z．令3x+，解得x=，k∈Z；所以函数y=tan（3x+）的图象的对称中心为（，0），k∈Z；当k=0、1、–1时，得=–、、–，所以A、B、D选项是函数图象的对称中心．故选C．
5．【答案】D
【解析】对于函数，令kπ–7．【答案】
【解析】由于函数f（x）=tanx在（–，）上单调递增，故函数f（x）=tanx在上单调递增，故当x=–时，函数f（x）取得最小值为–，故答案为：．
8．【答案】[，π）
【解析】1+tanα≥0，∴tanα≥–1，解得–+kπ≤α<+kπ，k∈Z．又α∈（，π），∴≤α<π，即α的取值范围是[，π）．故答案为：[，π）．
9．【答案】
【解析】根据正切函数的图象与性质得：函数f（x）=5tan（3x+）+2的最小正周期为：T=．故答案为：．
10．【答案】2π
【解析】函数y=3tan（+）的最小正周期为：T==2π．故答案为：2π．
11．【答案】（，），k∈Z
【解析】观察正切曲线：当tanx=1时，x=，k∈Z，由tanx>1，可得．故答案为：（，），k∈Z．
12．【解析】对于函数y=tan（），
令x–≠kπ+，k∈Z，
解得x≠2kπ+，k∈Z，
故函数y的定义域为{x|x≠2kπ+，k∈Z}．
令kπ–解得2kπ–故函数y的单调增区间为（2kπ–，2kπ+），k∈Z；无单调减区间．
令，k∈Z，
求得x=kπ+，k∈Z，
故函数y图象的对称中心为（kπ+，0），k∈Z．
13．【解析】（1）如图所示．
由图象可知，满足不等式的x的取值范围为(2kπ＋，2kπ＋)∪(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.
（2）如图所示．
由3tanx－≥0，得tanx≥.
由图象可知，满足不等式的x的取值范围为[＋kπ，＋kπ)，k∈Z.
14．【答案】C
【解析】函数y=tanx在（–，）上单调递增．A，tanπ=tan（–π），∴tanπtan（–π），故B错误．C，tan4=
tan（4–π），tan3=tan（3–π），则tan（4–π）>tan（3–π），即tan4>tan3，故C正确．D，tan281°=tan（–79°），tan665°=tan（–55°），则tan281°15．【答案】B
【解析】直线y=–1与y=tanx的图象的相邻两个交点的距离正好等于y=tanx的一个周期，即直线y=–1与y=tanx的图象的相邻两个交点的距离为π，故选B．
16．【答案】A
【解析】∵函数y＝tan的最小正周期为2π，因此可排除B、D，选项C中，当x＝时，y≠0，因此排除C，故选A．
17．【答案】A
【解析】解法一：验证：当φ＝－时，2x＋φ＝2×－＝－＝0，
∴tan(2x＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－.
解法二：由题意，得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，
令k＝0时，φ＝－，故φ可以是－.
18．【答案】C
【解析】∵–1≤sinx≤1，且函数y=tant在t∈[–1，1]上是单调增函数，∴tan（–1）≤tant≤tan1，即–tan1≤tan（sinx）≤tan1，∴函数y=tan（sinx）的值域为[–tan1，tan1]．故选C．
19．【解析】由>0，得tanx>1或tanx<－1.
故函数f(x)的定义域为(kπ－，kπ－)∪(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．
又f(－x)＋f(x)＝＋lg＝＝0，即f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
（3）由题意，kπ–≤≤kπ+，
可得不等式–1≤f（x）≤的解集．
21．【解析】由，解得，k∈Z；
∴所求的定义域为；
函数的值域为R，
周期为T=，
f（x）的定义域不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶的函数；
令–+kπ<3x–+kπ，k∈Z，
解得–+∴函数y在区间上是增函数．
③若≥1，即a≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，
∴ymin＝1－a＝－6，
∴a＝7，
综上所述，a＝－7或7.
23．【解析】（1）∵，
∴函数的最小正周期为．
由，得，
∴函数的单调增区间为，
∴函数的单调减区间为，
（2），
．
∵，
∴，
∴，即．
【思路分析】（1）将函数化为，然后根据正切函数的周期和单调性求解．
（2）由题意可得，根据函数在区间上的单调性可得，从而可得．
【名师点睛】解决函数有关问题的思路：
（1）采用整体代换的解题方法，即把看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解．
（2）解题时要注意参数的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．