人教版高中数学必修四知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象

第一章 三角函数
1.5 函数的图象
知识
一、对函数的图象的影响
1．对函数的图象的影响
（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向 （当φ<0时）或向 （当φ>0时）平行移动个单位长度而得到的.
2．对函数的图象的影响
函数（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或 （当ω>1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.
3．对函数的图象的影响
函数（其中A>0）的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当04．函数到函数(其中)的图象变换
将函数的图象变换得到函数（其中）的图象的过程为:
（1）作出函数在长度为2π的某闭区间上的简图;
（2）将图象沿x轴向左或向右平移个单位长度，得到函数的简图；
（3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的倍，得到函数的简图;
（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到函数的简图;
（5）沿x轴扩展得到函数，的简图.
由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法：
（1）先平移后伸缩：
（2）先伸缩后平移：
二、函数(其中)中各量的物理意义
物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数中的常数有关：
A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为 （amplitude of vibration）.
T：,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为 (period).
f：，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为 (frequency).
：称为 (phase).
：x=0时的相位，称为 (initial phase).
简记图象变换名称及步骤
（1）函数y＝sin x到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；
（2）函数y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换称为周期变换；
（3）函数y＝sin x到y＝Asin x的图象变换称为振幅变换．
（4）函数y＝sin x到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换途径为相位变换→周期变化→振幅变换或周期变换→相位变化→振幅变换．
知识参考答案：
一、1．右 左 2．缩短 3．A
二、振幅 周期 频率 相位 初相
重点
重点
函数图象的变换以及由图象确定函数解析式
难点
函数的性质的应用
易错
不能正确理解三角函数图象的变换规律致错
1．函数图象的变换
函数图象的平移变换解题策略：
（1）对函数，或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
（3）确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出的值.
（4）由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.
【例1】要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为y＝sin(4x－)＝sin[4(x－)]，所以要得到y＝sin[4(x－)]的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．故选B．
【例2】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得．故选C．
【名师点睛】三角函数图象的平移变换要注意平移方向与φ的符号之间的对应，横坐标的变化与ω的关系，此类问题很容易混淆规律导致错误.
2．由函数图象确定函数解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法：
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
【例3】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象的一部分，求此函数的解析式．
【解析】(逐一定参法)
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin，
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝，
∴y＝3sin.
【名师点睛】给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：
（1）第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
（2）特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
【例4】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
【答案】
【解析】由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2.
又函数图象经过点(，0)，所以2×＋φ＝π，则φ＝，
故函数的解析式为f(x)＝sin(2x＋)，
所以f(0)＝sin＝.
【名师点睛】根据函数图象确定函数解析式，关键是准确把握解析式中的各个参数在图象中的特征体现.
确定φ一般采用函数图象上的最值点的坐标来处理，也可用五点作图法中的五点来解决，这样避免产生增解.
3．函数的性质的应用
函数（A>0,ω>0）的性质：
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .
（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.
（4）对称性：
①对称轴
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
②对称中心
与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．
【例5】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)的单调递增区间；
（3）在给定的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
（2）由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
（3）列表如下：
x
0




π
y
－
0
1
0
－1
－
描点、作图．
【例6】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求φ和ω的值．
【解析】由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴当x＝0时f(x)取得最值，即sinφ＝1或－1.
依题设0≤φ≤π，解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知sin(ω＋)＝0，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在[0，]上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，
∴ω≤2.又ω>0，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
【名师点睛】此类题目是函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的综合应用，往往涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等．求解时要充分结合函数的性质，把性质转化为参数的方程或不等式．
4．不能正确理解三角函数图象变换规律
【例7】为得到函数y＝cos(2x＋)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【错解】选B．
y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)＝sin2(x＋)，因此向右平移个长度单位，故选B．
【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y＝cos(2x＋)的图象．
【答案】A
【试题解析】y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，因此将函数y＝sin2x的图象向左平移个长度单位即可．故选A．
基础训练
1．要得到y=sin2x的图象，只需将y=cos2x的图象
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．将函数y=2sin（ωx+）（ω>0）的图象向右移个单位后，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为
A．2 B．1 C． D．
3．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（–π<φ<0），将函数f（x）图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）=sin（2x+φ）
A．在区间[–]上单调递减 B．在区间[–]上单调递增
C．在区间[]上单调递减 D．在区间[]上单调递增
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式是
A．f(x)＝2sin(x＋) B．f(x)＝2sin(x－)
C．f(x)＝2sin(2x＋) D．f(x)＝2sin(2x－)
5．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个长度单位，所得函数图象的一个对称中心为
A． B．
C． D．
6．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.
7．已知函数f(x)＝3sin(3x＋)表示一个振动．
（1）求这个振动的振幅、周期、初相；
（2）说明函数y＝sinx的图象经过怎样的变换可得到函数f(x)的图象．
8．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中A>0，ω>0，|φ|<)在其一个周期内的图象上有一个最高点(，3)和一个最低点(，－5)，求这个函数的解析式．
9．函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图象如图所示．
（1）写出f(x)的最小正周期及图中x0、y0的值；
（2）求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值．
能力提升
10．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点
A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）
B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
D．向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
11．函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象
A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
C．先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
12．先把函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把新得到的图象向左平移个单位长度,得到y=g(x)的图象，当时,函数g(x)的值域为
A． B．
C． D．
13．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则
A． B．
C． D．
14．已知函数的图象为，则下列结论中正确的是
A．图象关于直线对称
B．将的图象向左平移个单位长度得到
C．图象关于点对称
D．在区间上单调递增
15．已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间()上的值域为，则等于
A． B．
C． D．
16．已知函数的最大值是，其图象经过点，则__________．
17．已知把函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位得到函数的图象．
（1）求的最小值及取最小值时的集合；
（2）求在时的值域；
（3）若，求的单调增区间．
18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
2
0
0
（1）请将上表数据补充完整，函数的解析式为= （直接写出结果即可）；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
19．已知函数的图象与直线的两相邻交点之间的距离为，且图象关于对称.
（1）求的解析式；
（2）先将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象.求的单调递增区间以及时的取值范围.
20．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．
（1）求f(x)的解析式；
（2）把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
21．已知函数y＝2cos.
（1）在该函数的图象的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
（2）将该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．
22．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
（1）试求这条曲线的函数解析式；
（2）写出函数的单调区间．
23．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A>0，ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式及f（x）图象的对称轴方程；
（2）把函数y=f（x）图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求关于x的方程g（x）=m（024．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）–b（ω>0，0<φ<π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的对称轴及单调增区间；
（3）若对任意x∈[0，]，f 2（x）–（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
真题练习
25．（2018?新课标Ⅱ）若f（x）=cosx–sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是
A． B． C． D．π
26．（2019?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
27．（2018?新课标Ⅰ）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11?????? ?? B．9?
C．7??????? ? D．5
28．（2019?新课标Ⅰ）将函数y=2sin (2x+)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为
A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+)
C．y=2sin(2x–) D．y=2sin(2x–)
29．（2018?新课标Ⅱ）函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则
A．y＝2sin(2x－) B．y＝2sin(2x－)
C．y＝2sin(x＋) D．y＝2sin(x＋)
30．（2017?新课标Ⅱ）若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为
A．x=(k∈Z) B．x=(k∈Z)
C．x=(k∈Z) D．x=(k∈Z)
31．（2018?江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（–φ<）的图象关于直线x=对称，则φ的值为______．
32．（2019?北京）设函数f（x）=cos（ωx–）（ω>0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为_____________．
参考答案
1
2
3
4
5
10
11
12
13
14
15
26
27
28
29
30
B
B
B
C
A
B
C
A
A
C
B
D
B
D
A
B
1．【答案】B
【解析】y=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+）．所以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x–）+]=sin2x的图象，故选B．
2．【答案】B
【解析】将函数y=2sin（ωx+）（ω>0）的图象向右移个单位后，可得y=2sin（ωx–ω+）的
图象，再根据所得图象关于y轴对称，∴–ω+=kπ+，k∈Z，即ω=–，∴当k=–1时，ω取得最小值为1，故选B．
4．【答案】C
【解析】∵f(0)＝1，∴2sinφ＝1，∴sinφ＝，又∵|φ|<，∴φ＝，又ω×＋＝2π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋)．
5．【答案】A
【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象,再向左平移个长度单位，得到的图象.将选项代入验证可知A选项符合.
6．【答案】
【解析】由题意可知，函数f(x)的最小周期T＝2(－)＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)．
又∵x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z.
∵0<φ<π，∴φ＝.
7．【解析】（1）振幅A＝3，周期T＝，初相φ＝.
（2）先将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到y＝sin(x＋)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(3x＋)的图象；最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到f(x)＝3sin(3x＋)的图象．
8．【解析】由一个周期内的图象上有一个最高点(，3)和一个最低点(，－5)，得A＝(ymax－ymin)＝×(3＋5)＝4，b＝(ymax＋ymin)＝×(3－5)＝－1，
＝－＝，即T＝π.由T＝，得ω＝2.
∴y＝4sin(2x＋φ)－1.
∴2×＋φ＝+2kπ，k∈Z，
又|φ|<，
∴φ＝，
故所求函数的解析式为y＝4sin(2x＋)－1.
【思路点拨】函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中A>0，ω>0)的图象可看作把y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个长度单位得到的．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x值之差的绝对值只是半个周期，由此可得出A、b，进而再求ω、φ.
9．【解析】（1）f(x)的最小正周期为＝π.
∵(x0，y0)是最大值点，
令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，结合图象得x0＝，y0＝3.
（2）因为x∈[－，－]，
所以2x＋∈[－，0]．
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
10．【答案】B
【解析】由题可知，正弦型为，其中，A代表振幅，用来控制函数的横坐标变化，用来控制函数的左右移动，本题是先平移再伸缩，先向左平移个单位长度，得到的图象，再把横坐标缩短为原来的倍，得到，故选B．
【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
11．【答案】C
【解析】根据函数的图象，设可得，
再根据五点法作图可得
故可以把函数的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象，故选C．
12．【答案】A
【解析】依题意得，当时，x－∈，所以∈，即函数g(x)的值域是
【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论平移还是伸缩变换，总是对变量而言.
13．【答案】A
【解析】由于是上的偶函数，且，故，由图象关于点对称，则，即，所以，又因为在区间上是单调函数，且，所以，故，故选A．
【方法点睛】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用三角函数性质求解析式的方法：
（1）利用最值求出；
（2）利用周期公式求出；
（3）利用特殊点或对称性求出.
在求解每一个参数时，一定根据题设条件，考虑参数的范围，这样才能保证解析式的唯一性.
14．【答案】C
【解析】将的图象向左平移个单位长度得到的图象,故B错；
在区间上有增有减，故D错；
图象关于点对称，故A错误，C正确，
故选C．
15．【答案】B
【解析】由图象可知，，
所以，
当（）时，，
因为值域里有，所以，，选B．
【名师点睛】本题学生容易经验性的认为,但此时在内无解，所以.
已知函数的图象求解析式：
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.
16．【答案】
【解析】由函数，的最大值是，得；
又其图象经过点，∴，∴或，；∴或，，又，∴，∴.∴.故答案为．
17．【解析】（1）由已知得．
当时，取得最小值，
此时，即，
故取最小值时的集合为．
（2）当时，，
所以，
从而，即的值域为．
（3）
即求函数的单调递减区间．
令，解得，
故的单调增区间为．
18．【解析】（1）
0
0
2
0
0
根据表格可得
再根据五点法作图可得，
故解析式为.
（2）令，，
所以函数的单调递增区间为，.
（3）因为，
所以，
所以.
所以当，即时，在区间上的最小值为.
当，即时，在区间上的最大值为.
【名师点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，并研究函数的性质，属于基础题．
（1）由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．
（3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数在区间上的最大值和最小值.
（2）由（1）可得，
∴，
由，得，，
∴的单调递增区间为，，
∵，
∴，
∴，，
∴的取值范围为.
【名师点睛】本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及正弦型函数的单调性、周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键.
（1）由已知可得，进而求解值，再根据的图象关于对称，求解的值，即可求得函数的解析式；
（2）由（1）可得，利用三角函数的图象与性质，即可求解的单调递增区间以及时的取值范围.
21．【解析】（1）由2x＋＝kπ，得函数的对称轴方程是
x＝－＋，k∈Z.
所以函数的图象离y轴距离最近的那条对称轴方程为x＝.
（2）将函数y＝2cos的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数图象的解析式是y＝2cos.
因为y＝2cos的图象关于原点对称，所以－2φ＝＋kπ.所以φ＝－，k∈Z.
所以φ的最小正值是．
22．【解析】（1）依题意，A＝，T＝4×＝4π，
∵T＝＝4π，ω＞0，∴ω＝.∴y＝sin.
∵曲线上的最高点为，∴sin＝1.
∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
∴y＝sin.
（2）令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ－，4kπ＋(k∈Z)．
令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为4kπ＋，4kπ＋(k∈Z)．
23．【解析】（1）由图象知，周期T=–（–）=π，∴ω==2．
∵点（–，0）在函数图象上，
∴Asin（–2×+φ）=0，即sin（φ–）=0，
又∵–<φ<，∴–<φ–，从而φ=．
又∵点（0，1）在函数图象上，∴1=Asin，∴A=2．
故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．
令2x+=kπ+，k∈Z，解得x=+，k∈Z．
即为函数f（x）图象的对称轴方程．
（2）依题意，得g（x）=2sin（x+），
∵g（x）=2sin（x+）的周期T=2π，
∴g（x）=2sin（x+）在x∈[–，]内有2个周期．
令x+=k（k∈Z），则x=+kπ（k∈Z），
即函数g（x）=2sin（x+）的对称轴为x=+kπ（k∈Z）．
又x∈[]，则x+∈[0，4π]，
且0不妨从小到大依次设为xi（i=1，2，3，4），
则，．
∴关于x的方程g（x）=m（0所有的实数根之和为x1+x2+x3+x4=．
24．【解析】（1）由可得ω=2，则f（x）=sin（2x+φ）+b，
又为奇函数，且0<φ<π，
则，故．
（2）结合（1）的结论可得对称轴满足，
据此可得对称轴方程为，
函数的增区间满足，
故增区间为．
（3）因为，所以，
而f 2（x）–（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，整理可得，
由，得，
故，即m取值范围是．
25．【答案】C
【解析】f（x）=cosx–sinx=–（sinx–cosx）=–sin（x–），由–+2kπ≤x–≤+2kπ，k∈Z，得–+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[–，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选C．
26．【答案】D
【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D．
【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；
另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.
【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：
①的单调区间长度是最小正周期的一半;
②若的图象关于直线对称,则或.
28．【答案】D
【解析】函数的周期为，将函数的图象向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为，故选D.
【名师点睛】函数图象的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.
29．【答案】A
【解析】由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.
【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．
30．【答案】B
【解析】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度得函数的图象，则平移后函数图象的对称轴为，即，故选B.
【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加或减多少值，而不是依赖于ωx加或减多少值．
31．【答案】D
【解析】由图象可知，，解得，，所以，令，解得<<,,故函数的单调减区间为（，）,,故选D．
31．【答案】–
【解析】∵y=sin（2x+φ）（–φ<）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ–，∵–φ<，∴当k=0时，φ=–，故答案为：–．
32．【答案】
【解析】函数f（x）=cos（ωx–）（ω>0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，
可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω>0，则ω的最小值为：．故答案为：．