2.2.2 椭圆的几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)
2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．(难点)
3.会用椭圆的方程及性质处理一些实际问题．(重点、难点)
1.通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象素养．
2.借助直线与椭圆的位置运算，培养数学运算素养.
1．椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
F1F2＝2c
对称轴
x轴，y轴
对称中心
(0,0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
2．离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率．
(2)范围：e＝∈(0,1)．
(3)作用：
当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆．
思考：(1)离心率e能否用表示？
(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？
[提示] (1)e2＝＝＝1－2，所以e＝.
(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
D [椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．]
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3,0.8 B．10,6,0.8
C．5,3,0.6 D．10,6,0.6
B [椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故B.]
3．椭圆＋＝1(a>2)的离心率e＝，则实数a的值为________．
2 [因为a>2，所以e＝＝，解得a＝2.]
4．椭圆＋y2＝1被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为________．
1 [右焦点为(，0)，把x＝代入得＋y2＝1，解得y＝±，所以过焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为×2＝1.]
由椭圆的方程求其几何性质
【例1】 (1)椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离为________．
(2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．
[思路探究] 分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质．
(1)2 [把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得＋＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝，故2c＝2.]
(2)[解] 椭圆的方程可化为
x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，
∴c＝＝＝4，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为18,2.
∵椭圆的焦点在y轴上，
故其焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，
顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，
B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝.
研究椭圆几何性质的方法
求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
1．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
因为m－＝>0，所以m>，所以焦点在x轴上，即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得e＝＝＝，所以m＝1.
所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.
所以a＝1，b＝，c＝，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
由椭圆的几何性质求方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[思路探究] →→→
[解] (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，
∴a＝3.
又e＝＝，∴c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由题意知焦点在x轴上，
故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
由椭圆的几何性质求方程的方法步骤
1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
2．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求该椭圆的标准方程．
[解] 法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，则设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
法二：设椭圆的标准方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意得或
解得或
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
求离心率
【例3】 (1)如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，则该椭圆的离心率为________．
(2)已知椭圆C的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个端点B，∠OAB＝30°，则椭圆的离心率为________．
[思路探究] (1)求出直线l与x、y轴交点，找出a，b，进而求出离心率e；
(2)在直角三角形OAB中，由∠OAB＝30°，可得a，b的关系，利用这个a，b的关系可求离心率．
(1) (2) [(1)在直线l的方程x－2y＋2＝0中令y＝0得x＝－2，令x＝0得y＝1，故F1(－2,0)，B(0,1)，所以c＝2，b＝1，故a2＝b2＋c2＝5.
所以a＝，因此离心率e＝＝＝.
(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x轴上，由条件得∠OAB＝30°，OA＝a，OB＝b，
∴＝tan 30°＝，
∴e2＝＝1－＝1－＝，
∴e＝.]
求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：
1．若已知a，c，则直接代入e＝求解；
2．若已知a，b，则由e＝求解；
3．若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可．
3．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
[解] 如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥BF1.
又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c.
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，∴＝－1.
∴椭圆的离心率e＝－1.
直线与椭圆的位置关系
[探究问题]
1．直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断？如何判断直线与椭圆的位置关系？
[提示] (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断．
(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0还是Δ＝0，即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．
2．直线与椭圆相交时，若交点为A，B，则线段AB是椭圆的弦，如何计算弦AB的长呢？
[提示] 将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．
设直线y＝kx＋m与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为：
|AB|＝|x1－x2|
＝·，
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
3．与弦的中点有关的问题称为中点弦问题，若已知椭圆＋＝1(a>b>0)的弦AB的中点坐标为(x0，y0)，能否确定直线AB的斜率？
[提示] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
所以(x－x)＋(y－y)＝0，
变形得＝－·＝－·，
即kAB＝－.
这种方法叫平方差法，也叫点差法．
【例4】 已知椭圆＋y2＝1.
(1)当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点？
(2)当m＝2时，求直线y＝x＋m被椭圆截得的线段长．
[思路探究] →→→
→
[解] (1)联立消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0.(*)
∵Δ＝64m2－80(m2－1)>0，∴－∴当－(2)当m＝2时，方程(*)化为5x2＋16x＋12＝0，
设线段端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得
x1＋x2＝－，x1x2＝，又k＝1，
∴AB＝·＝.
直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式
1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由判别式进行判断．
2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB＝|x1－x2|＝·进行求解，也可利用AB＝|y1－y2|＝· 进行求解．
4.如图，已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程．
[解] 设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则＝＝1，解得k＝－.
故直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1，
即4x＋9y－13＝0.
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
4．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆＋＝1(a>b)的长轴长为a，短轴长为b.( )
(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．( )
(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D [右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上，c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.]
3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
[由题意知0所以m＝.]
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
[解] 由题意知
解得
所以b2＝a2－c2＝1，
所以所求椭圆的方程为＋x2＝1.
课件53张PPT。第2章 圆锥曲线与方程2.2 椭 圆
2.2.2 椭圆的几何性质23452a 2b 2c x轴，y轴 (0,0) 6(0,1) 接近于1 接近于0 78910111213由椭圆的方程求其几何性质 1415161718由椭圆的几何性质求方程 19202122232425求离心率 26272829303132直线与椭圆的位置关系 3334353637383940414243444546474849505152点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为
( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A [由题意知，解得
因此所求椭圆的方程为＋＝1.]
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
D [由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]
3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
A [由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
D [在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因为05．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝
( )
A．35 B．30
C．25 D．20
A [设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．
[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.]
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
＋＝1 [设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)
由题意得解得
因此所求椭圆方程为＋＝1.]
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
[1,2] [因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]
三、解答题
9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
[解] 不妨设A(a,0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
10．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
[解] (1)因为a＝2，c＝，所以b＝＝1.
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得所以
又因为＋y＝1，所以＋2＝1，即为中点M的轨迹方程．
[能力提升练]
1．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
B [由于PF⊥x轴，
则令x＝－c，代入椭圆方程，解得，
y2＝b2＝，y＝±，
又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，
即有4(a2－c2)＝a2＋ac，
即有(3a－4c)(a＋c)＝0，
则e＝＝，故选B.]
2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [椭圆＋＝1的离心率为，
当0当m>4时，＝，得m＝，
即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．]
3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．
＋＝1 [由题意知，解得
则b2＝3，故所求椭圆方程为＋＝1.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
[由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝.]
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点Q在椭圆C上，且∠F1QF2＝，求QF1·QF2的值；
(3)设直线y＝x＋k与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．
[解] (1)∵椭圆过点P(3,1)，
∴＋＝1.
又S△PF1F2＝×2c×1＝2，解得c＝2.
又a2＝b2＋c2解得a2＝12，b2＝4，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当∠F1QF2＝时，
有
∴QF1·QF2＝.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2＋6kx＋3k2－12＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝.
∵以AB为直径的圆经过坐标原点，
∴·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0，解得k＝±，
此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k＝±.
