2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)
2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)
3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)
1.通过双曲线标准方程的推导、培养数学运算素养．
2.借助双曲线标准方程的求法，提升逻辑推理素养.
双曲线的标准方程
标准
方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
焦点
坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
a，b，c之
间的关系
c2＝a2＋b2
思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？
[提示] “焦点跟着正项走”，若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
1．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
D [c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
C [b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.]
3．若k∈R，方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
(－3，－2) [据题意知(k＋3)(k＋2)＜0，
解得－3＜k＜－2.]
4．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.
1 [由条件可得4－a2＝a＋2，解得a＝1.]
求双曲线标准方程
【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
[思路探究] 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．
[解] (1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴点P和Q在双曲线上，
∴
解得(舍去)
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
1．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程．
[解] 椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知解得
故双曲线的方程为－＝1.
双曲线标准方程的讨论
【例2】 (1)如果方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．
(2) “ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．
(3)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．
[思路探究] 根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解．
(1)(－2，－1) (2)必要不充分 [(1)由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1)．
(2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab<0”不是充分条件．]
(3)[解] 由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．
方程表示双曲线的条件及参数范围的求法
1．对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线．进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．
2．对于方程－＝1，则当mn＞0时表示双曲线．且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．
3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
2．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？
[解] 由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k<9,925，分别进行讨论．
(1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，此时，a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当90,9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k>25时，所给方程没有轨迹.
双曲线中的焦点三角形
[探究问题]
双曲线上一点M与双曲线的两个焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？
[提示] 焦点三角形中，常用的关系式有：
(1)MF1－MF2＝±2a；
(2)S△F1MF2＝MF1·MF2·sin∠F1MF2；
(3)F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2·cos∠F1MF2.
【例3】 设F1，F2为双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的周长及△F1PF2的面积．
[思路探究] 由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF1与PF2的长，或利用整体代入法先求PF1＋PF2与PF1·PF2，再求周长与面积．
[解] 法一：∵点P在双曲线－＝1上，
∴|PF1－PF2|＝4，F1F2＝4.
又∵∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，
∴PF＋PF＝F1F＝32.
列方程组
解得或
∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4，
△F1PF2的面积为PF1·PF2＝(2＋2)(2－2)＝4.
法二：同解法一得
|PF1－PF2|＝4，F1F2＝4，PF＋PF＝32.
∴(|PF1－PF2|)2＝PF＋PF－2PF1·PF2，
即16＝32－2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8.
∴(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝32＋16＝48，
∴PF1＋PF2＝4.
∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4，
△F1PF2的面积为PF1·PF2＝×8＝4.
在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合PF1－PF2＝±2a，运用平方的方法，建立它与PF1·PF2的联系，体现了数学中的一种整体思想．
3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.
[由双曲线方程得a＝，b＝，则c＝＝2.因为PF1－PF2＝2，且PF1＝2PF2，所以PF1＝4，PF2＝2，而F1F2＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.]
1．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．( )
(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．( )
(3)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B.y2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B [椭圆＋＝1的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－＝1.]
3．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为________．
－1 [方程可化为－＝1.由条件可知－－＝9，解得k＝－1.]
4．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)．
[解] (1)依题意，双曲线的焦点在x轴上且a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝5.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵c2＝16＋4＝20，∴c＝2，
∴F(±2，0)，
∴2a＝|－|
＝4，∴a2＝12，
∴b2＝c2－a2＝8，∴双曲线方程为－＝1.
法二：设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线方程为－＝1.
课件46张PPT。第2章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程234 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 5(－c,0) (c,0) (0，－c) (0，c) 6789101112求双曲线标准方程 131415161718192021双曲线标准方程的讨论 22232425262728双曲线中的焦点三角形 2930313233343536373839404142434445点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1(x≥4)
C.－＝1 D.－＝1(x≥3)
D [由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]
2．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )
A．－3B．k<－3
C．k<－3或k>－2
D．k>－2
A [由题意知，解得－33．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
C [由
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.]
4．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
B [由题意知
即
且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.]
5．已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为
( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
B [因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1，P2两点在双曲线上，所以，解得，于是所求双曲线的标准方程为－＝1.故选B.]
二、填空题
6．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于________．
24 [双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.由题意，知|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.]
7．以椭圆＋＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线方程的标准方程为________．
－＝1 [由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.]
8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
－＝1(x≤－2) [设动圆圆心为P，由题意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，则动圆圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的左支，又a＝2，c＝4，则b2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．]
三、解答题
9．如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
[解] 法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝b2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[解] (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升练]
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
B [由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B.]
2．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为
( )
A．2 B．10 C．8 D．6
B [设△PF1F2的内切圆的半径为R，由题意，知a＝4，b＝3，c＝5.∵S△PMF1＝S△PMF2＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴S△MF1F2＝·2c·R＝10，故选B.]
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
－1 [设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.]
4．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．
(－1,3) [由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m25．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)．
[解] 以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系．
设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A(－1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)．
设P(x，y)为巨响产生点，
由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，
故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x.
∵点B比点A晚4 s听到巨响声，
∴|PB|－|PA|＝340×4＝1 360.
由双曲线的定义，知点P(x，y)在以A，B为焦点的双曲线－＝1的左支上，∴x<0.
依题意，得a＝680，c＝1 020，
∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，
故双曲线的方程为－＝1.
将y＝－x代入上式，得x＝－680或x＝680(舍去)，
∴y＝680，
即P(－680，680)，故|PO|＝680.
∴巨响发生在接报中心的北偏西45°方向，且距接报中心680m处．
