2.3.2 双曲线的几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)
2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)
3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.
1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．
2.借助性质的应用，提升数学运算素养.
1．双曲线的简单几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，
y∈R
y≤－a或y≥a，
x∈R
对称轴
x轴，y轴
对称中心
原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2．等轴双曲线
(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝；
②等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直．
思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．
(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．
1．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
C [双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，因此渐近线方程为y＝±x.]
2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是( )
A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)
C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1)
B [由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]
3．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
(－，0)，(，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．]
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为________．
[因为渐近线方程为y＝x，所以＝，
所以离心率e＝＝＝＝.]
由双曲线的方程求其几何性质
【例1】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
[思路探究] 本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．
[解] 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
作草图，如图所示：
用双曲线标准方程研究几何性质的步骤
1．将双曲线方程化为标准方程形式；
2．判断焦点的位置；
3．写出a2与b2的值；
4．写出双曲线的几何性质．
1．求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率．
[解] 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，
∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，
∴c＝＝＝4，
∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.
求双曲线的标准方程
【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
[思路探究] 利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解．
[解] (1)设以直线y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
双曲线方程的求解方法
1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．
2．以y＝±x为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论．
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.
(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.
①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.
③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线的离心率及其取值范围
【例3】 (1)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．
[思路探究] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有≥tan 60°.
(1) [由题意2c＝AB＝BC，
∴AC＝2×2c×sin 60°＝2c，
由双曲线的定义，
有2a＝AC－BC＝2c－2c?a＝(－1)c，
∴e＝＝＝.]
(2)[解] 因为双曲线渐近线的斜率为k＝，
直线的斜率为k＝tan 60°＝，故有≥，
所以e＝＝≥＝2，
所以所求离心率的取值范围是[2，＋∞)．
双曲线离心率的求法
1．求双曲线的离心率就是求a和c的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a，b，c三者中两者的关系，进而利用c2＝a2＋b2进行转化．
2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ>0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如c>a，或c>b.
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
[解] 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，
知PF1＝F1F2，
∴＝2c，∴b2＝2ac，
∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( )
(2)等轴双曲线的渐近线是y＝±x.( )
(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B． C． D．1
D [由题意得e＝＝2，∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]
3．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的方程是________．
x2－＝1 [双曲线的焦点在x轴上，则c＝，
＝3.又∵a2＋b2＝c2，解得a2＝1，b2＝9，
∴方程为x2－＝1.]
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
[解] (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1，由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
课件43张PPT。第2章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的几何性质2345F1(－c,0) F2(c,0) F1(0，－c) F2(0，c) x≤－a x≥a y≤－a y≥a x轴，y轴 原点 R R 6A2(a,0) A1(0，－a) A2(0，a) 2a B1B2 2b a b (1，＋∞) A1(－a,0) A1A2 7等长 ±x 垂直 891011121314由双曲线的方程求其几何性质 1516171819求双曲线的标准方程 202122232425262728求双曲线的离心率及其取值范围 2930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
C [由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.]
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
B [因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.]
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
C [由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.]
4．若实数k满足0A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
D [若00,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D.]
5．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．2
D [直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，原点到直线l的距离d＝＝＝c
即ab＝c2，所以a2(c2－a2)＝c4.
整理得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝
又b>a>0，所以e2＝1＋>2，故e＝2.]
二、填空题
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线方程为________．
－y2＝1 [由题意可得，解得，
故所求双曲线方程为－y2＝1.]
7．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________．
(1，) [e2＝1＋，由a>1得1所以18．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．
2 [双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则A(2,2b)，B(2，－2b)，|AB|＝4b，从而S△AOB＝×4b×2＝8.
解得b＝2，所以c2＝5，从而焦距为2.]
三、解答题
9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
[解] 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
10．若双曲线x2－y2＝1的左支上有一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，求点P的坐标．
[解] 因为点P(a，b)到直线y＝x的距离为，由点到直线的距离公式得＝，即|a－b|＝2①，又点P(a，b)在双曲线x2－y2＝1左支上，所以a＜0且a2－b2＝1②，由①②联立，解得或(舍)，所以点P的坐标为.
[能力提升练]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
A [曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3,0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A.]
2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x＋5y＝0
C．5x±4y＝0 D．4x±3y＝0
D [由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.]
3．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________．
－＝1 [由直线方程x＝a和渐近线方程y＝x联立解得A(a，b)．由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O，可得c＝4，即右焦点F(4,0)．由该圆过A点，可得|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋16＝c2－8a＋16＝c2，所以8a＝16，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12.
故双曲线C的方程为－＝1.]
4．已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP＋AF2的最小值为________．
－2 [首先根据定义，得AF2＝AF1－2a.
∵AP＋AF2＝AP＋AF1－2a＝AP＋AF1－2，
∴要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值．由图可知，当F1，A，P三点共线时，AP＋AF1＝PF1取得最小值，最小值为，∴AP＋AF2的最小值为－2.]
5．已知F1，F2是双曲线－＝1的左，右焦点．
(1)若双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32.试求△F1PF2的面积．
[解] 由双曲线的标准方程－＝1可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义，得|PF2－PF1|＝2a＝6，则|PF2－10|＝6，解得PF2＝4或PF2＝16.
(2)由P在双曲线左支上得PF2－PF1＝6，两边平方得
PF＋PF－2PF1·PF2＝36，∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
