2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程．(重点)
2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程．(重点)
3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值．(难点)
1.借助抛物线标准方程的推导，培养数学运算素养．
2.借助最值问题，提升直观想象与逻辑推理素养.
1．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝
x2＝2py(p>0)
F
y＝－
x2＝－2py(p>0)
F
y＝
思考：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？
[提示] (1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
B [抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
C [由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]
3．抛物线x＝4y2的准线方程是( )
A．y＝ B．y＝－1
C．x＝－ D．x＝
C [由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.]
4．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．
x2＝－12y [∵＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.]
求抛物线的焦点及准线
【例1】 (1)抛物线2y2－3x＝0的焦点坐标是________，准线方程是________．
(2)若抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________．
(1) x＝－ (2) y＝－ [(1)抛物线2y2－3x＝0的标准方程是y2＝x，
∴2p＝，p＝，＝，
焦点坐标是，准线方程是x＝－.
(2)抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝y，
当a>0时，则2p＝，解得p＝，＝，∴焦点坐标是，准线方程是y＝－.
当a<0时，则2p＝－，＝－.
∴焦点坐标是，准线方程是y＝－，
综上，焦点坐标是，准线方程是y＝－.]
求抛物线的焦点及准线步骤
1．把解析式化为抛物线标准方程形式．
2．明确抛物线开口方向．
3．求出抛物线标准方程中p的值．
4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
1．求抛物线y＝－mx2(m>0)的焦点坐标和准线方程．
[解] 抛物线y＝－mx2(m>0)的标准方程是x2＝－y.
∵m>0，∴2p＝，＝，焦点坐标是，准线方程是y＝.
求抛物线的标准方程
【例2】 根据下列条件确定抛物线的标准方程．
(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；
(2)过点(4，－8)；
(3)焦点在x－2y－4＝0上．
[思路探究] (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．
[解] (1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝－y.
法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程为x2＝－y.
(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8) 的坐标代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.
法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.
综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.
(3)由得
由得
所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.
求抛物线的标准方程
求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程．
1．定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程．
2．待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．
(1)对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y2＝2px(p>0)，或y2＝－2px(p>0)，或x2＝2py(p>0)，或x2＝－2py(p>0)，进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程．
(2)对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：
当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠0)；
当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2＝ay(a≠0)，再根据条件求a.
2．以双曲线16x2－9y2＝144的左顶点为焦点的抛物线方程是________．
y2＝－12x [双曲线16x2－9y2＝144的标准方程是－＝1，
左顶点是(－3,0)，由题意设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
∴－＝－3，∴p＝6，抛物线的标准方程是y2＝－12x.]
抛物线的标准方程及定义的应用
【例3】 (1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．
[思路探究] (1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PB＋PF≥BF求解．(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解．
[解] (1)∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF.如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF＝＝.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当AP⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
抛物线定义在求最值中的应用
1．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
2．数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一．
3．已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值．
[解] 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则MN＝(AC＋BD)．
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
∴MN＝(AF＋BF)≥AB＝.
设点M的横坐标为x，
MN＝x＋，则x≥－＝.
当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为.
与抛物线相关的轨迹方程
【例4】 动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程．
[思路探究] 设F(2,0)，由题意MF＝|x|＋2，或根据点M，F在y轴的同侧或异侧分类讨论．
[解] 法一：设F(2,0)，由题意MF＝|x|＋2，
＝|x|＋2，化简得y2＝4x＋4|x|＝
∴动点M的轨迹方程是y＝0(x<0)或y2＝8x(x≥0)．
法二：①当x≥0时，∵动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等，
∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝4，
∴抛物线的方程为y2＝8x(x≥0)．
②当x<0时，由于x轴上原点左侧的点到y轴距离比它到(2,0)的距离小于2，∴动点M的轨迹方程为y＝0(x<0)．
综上，动点M的轨迹方程为y＝0(x<0)或y2＝8x(x≥0)．
解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
4．已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
[解] 设点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5.∴|PC|＝|x|＋5.
当点P在y轴右侧时，即x＞0，则|PC|＝x＋5，∴点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x＞0)；
当点P在y轴左侧时，即x＜0，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x＜0)．
故点P的轨迹方程为y2＝20x(x＞0)或y＝0(x＜0)．
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )
(3)抛物线的方程都是二次函数．( )
(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数的正负决定．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．抛物线y＝x2的焦点坐标是( )
A. B.
C．(0,1) D．(1,0)
C [抛物线的标准方程为x2＝4y，从而焦点坐标为(0,1)．]
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
4 [把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.]
4．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
[解] 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
课件43张PPT。第2章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程23456789101112求抛物线的焦点及准线 1314151617求抛物线的标准方程 18192021222324抛物线的标准方程及定义的应用 252627282930与抛物线相关的轨迹方程 313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
B [由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.]
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
D [由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(－2,0)，因此抛物线方程为y2＝±8x.]
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
B [抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.]
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
C [抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝＝－.]
5.如图，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是( )万元．
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.]
二、填空题
6．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
y＝－ [化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，
∴准线方程为y＝－.]
7．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
4 [抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.]
8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
②④ [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．]
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．
[解] 法一：由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F，
因为点M在抛物线上，且MF＝5，所以有
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m的值为±2.
法二：由题可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F，准线方程为x＝，
根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，
则3＋＝5，
∴p＝4，
∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2.
10．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
[解] 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为.
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
[能力提升练]
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A．2 B．4
C. D.＋1
A [将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.]
2．设抛物体C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
C [由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，M(x0，y0)，则＝，＝，由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得，＋＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]
3．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
2 [抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.]
4．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6,6)或(－6，－6) [设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6.
代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6.
因此P(－6,6)或P(－6，－6)．]
5．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
[解] (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组，得，
所以N.
