2.4.2 抛物线的几何性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点)
2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)
3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点)
1.借助抛物线的几何性质，培养数学运算素养．
2.通过直线与抛物线的位置关系，提升逻辑推理素养.
1．抛物线的几何性质
类型
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图象
性
质
焦点
F
F
F
F
性
质
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，
y∈R
x∈R，
y≥0
x∈R，
y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
2．抛物线的焦点弦、通径
抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
C [由题意知抛物线方程为x2＝±2py，且＝3，即p＝6，因此抛物线方程为x2＝±12y.]
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．10 B．8 C．6 D．4
B [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
3．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为________．
4 [易知线段AB为抛物线的通径，所以AB＝4.]
4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
2 [F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.
∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.]
依据性质求抛物线标准方程
【例1】 (1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py (p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．
(1)x2＝16y (2)y2＝4x [(1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝p，∴S△OAB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故p＝2.
∴所求抛物线方程为y2＝4x.]
利用抛物线几何性质可以解决的问题
1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
3．范围：解决与抛物线有关的最值问题．
4．焦点：解决焦点弦问题．
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________．
x2＝12y或x2＝－12y [椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上，
∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.]
与抛物线有关的最值问题
【例2】 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．
[思路探究] 本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．
[解] 法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，
它到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝＝2＋.
∴当t＝时，d有最小值.
法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
∴最小距离为＝＝.
抛物线中最值的求解策略
1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围．
2．当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化．
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
2 [因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以设P到准线的距离为PB，则PB＝PF，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离，所以FD＝＝＝2，所以距离之和最小值是2.]
直线和抛物线的位置关系
[探究问题]
1．直线与抛物线有哪几种位置关系？
[提示] 相离，相切，相交
2．如何认识抛物线的焦点弦？
[提示] 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；
(2)AB＝2(焦点弦长与中点关系)；
(3)AB＝x1＋x2＋p；
(4)若直线AB的倾斜角为α，则AB＝；
如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；
(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2；
(6)＋＝.
【例3】 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB＝p，求AB所在的直线方程．
[思路探究] 求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，AB＝x1＋x2＋p＝p求解．
[解] 由题意可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.
由抛物线的定义，知AF＝dA＝x1＋，BF＝dB＝x2＋，
于是AB＝x1＋x2＋p＝p，∴x1＋x2＝p.
当x1＝x2＝时，AB＝2p<p，
故直线AB与x轴不垂直．
设直线AB的方程为y＝k.
由
得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，
∴x1＋x2＝，即＝p，解得k＝±2.
故直线AB的方程为
y＝2或y＝－2.
1．直线与抛物线交点问题的解题思路
判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．
2．抛物线的弦长求解思路
当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；当直线的斜率k＝0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|y1－y2|.
3．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
[解] 由题意知抛物线焦点为F(1,0)，kAB＝1，所以AB的方程为y＝x－1，代入y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋2＝8，∴线段AB的长为8.
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称．( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A. B. C. D.
A [线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.]
3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
(4,2) [由得x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2)．]
4．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值．
[解] 由
消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
由Δ＞0，得b＜.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝1－b，x1x2＝.
∴|x1－x2|＝＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝3，∴1－2b＝9，即b＝－4.
课件39张PPT。第2章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的几何性质2345O(0,0) 向右 向左 向上 向下 6最短 2p 789101112依据性质求抛物线标准方程 1314151617与抛物线有关的最值问题 1819202122直线和抛物线的位置关系 23242526272829303132333435363738点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．方程y＝－2所表示曲线的形状是( )
D [方程y＝－2等价于故选D.]
2．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．16 B．12
C．10 D．8
B [由题意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12.]
3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
B [点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
B [易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.]
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
B [设P(x0，y0)，则A(－2，y0)，又F(2,0)，
所以＝－，即y0＝4.
由y＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6.
从而|PF|＝6＋2＝8.]
二、填空题
6．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点．若＝，则直线PF的方程为________．
x＋y－1＝0或x－y－1＝0 [抛物线E：y2＝4x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QF＝d.
∵＝，∴||＝||＝d，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，
∴直线的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.]
7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽__________ m.
2 [建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2 m.
]
8．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．
[1，＋∞) [如图，设C(x0，x)(x≠a)，
A(－，a)，B(，a)，
则＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)．
∵CA⊥CB，∴·＝0，
即－(a－x)＋(a－x)2＝0，(a－x)(－1＋a－x)＝0.
∴x＝a－1≥0，∴a≥1.]
三、解答题
9．已知抛物线y2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
[解] 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，
由得x＝0(舍)或x＝，
∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
解方程组得k6＝64，即k2＝4.
则p2＝＝，又p>0，则p＝，
故所求抛物线方程为y2＝x.
10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
[解] (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
[能力提升练]
1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝( )
A. B.
C. D.
C [因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.]
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
C [抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C.]
3．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是________．
(0,0) [设P(x0，y0)，则＝(x0－2，y0)，
＝(x0－4，y0)，
所以·＝(x0－2)(x0－4)＋y，又y＝－4x0，
所以·＝x－10x0＋8＝(x0－5)2－17，
因为x0≤0，所以当x0＝0时，·取得最小值．
此时点P的坐标为(0,0)．]
4．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
32 [y＝4x1，y＝4x2，则y＋y＝4(x1＋x2)
若过点P(4,0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x＝4，
此时x1＋x2＝8，y＋y＝32，
若过点P(4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为y＝k(x－4)，由得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，
则x1＋x2＝8＋>8，此时y＋y>32
因此y＋y的最小值为32.]
5．已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积．
(2)求证：直线AB过定点．
[解] (1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.
(2)证明：因为y＝2px1，y＝2px2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，所以kAB＝，故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
代入整理得y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
