3.1.3 空间向量基本定理
3.1.4 空间向量的坐标表示
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)
2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行．(重点)
3.基向量的选取及应用．(易错点)
1.借助空间向量的坐标运算，提升数学运算素养．
2.通过空间向量基本定理的运用，培养数学抽象素养.
1．空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
2．基底、基向量
在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．
3．正交基底、单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．
4．空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋＋z.
5．空间向量的坐标运算
(1)空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．
(2)空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量的加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量的减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
向量平行
a∥b(a≠0)?
b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？
[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．
(2)唯一确定．
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
C [由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．]
2．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
D [4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，
∴4a＋2b＝(8,0,4)．]
3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
a＝(4，－8,3) b＝(－2，－3,7) [由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]
4．设a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则k＝________.
－1 [ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)，
∴＝＝3k＋2，解得k＝－1.]
基底的判断
【例1】 (1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．
①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．
(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量＝2e1＋e2＋e3，＝e1－e2＋2e3，＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.
[思路探究] (1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，，共面，利用共面向量定理求解．
[解析] (1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
(2)因为，，不能作为空间向量的一组基底，故，，共面．
由共面向量定理可知，存在实数x，y，使＝x＋y，
即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．
故解得x＝，y＝－，k＝5.
[答案] (1)③ (2)5
基底的判断
判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
用基底表示空间向量
【例2】 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
[思路探究]
→→
→
→→
[解] ＝－，∵＝，
∴＝×(＋)＝(b＋c)，
＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋×(＋)
＝a＋(b＋c)，∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a，即＝－a.
用基底表示向量的技巧
1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果．
3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
1．如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2).
[解] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC，AD1，
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c.
空间向量的坐标运算
[探究问题]
1．如何建立空间直角坐标系？
[提示] (1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．
(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手直角坐标系建系，如图所示．
2．如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？
[提示] 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：
(1)建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标；
(3)写出向量的坐标；
(4)结合公式进行论证、计算；
(5)转化为几何结论．
【例3】 如图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．
求证：PQ∥RS.
[思路探究] 以O为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定，的坐标，利用向量共线证明．
[解] 如图，建立空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．
∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，
Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，∴P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
于是＝＝，∴∥.
∵R?PQ，∴PQ∥RS.
两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，
②依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．
2．已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．
[证明] ∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，
∴＝＝，
∴与共线，即AB∥CD.
又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
∴≠≠，
∴与不平行．
∴四边形ABCD为梯形．
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{a，b，c}为空间一个基底，且p＝xa＋yb＋zc.若p＝0，则x＝y＝z＝0.( )
(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( )
(3)以原点O为起点的向量的坐标和点P的坐标相同．( )
(4)若＝(2,3,0)，则点P在平面xOy内．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
D [因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于＝－，故D正确．]
3．已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________.
(2,1，－1) [b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)．]
4．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行．
[解] ∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，
∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，
5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．
∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，
∴＝＝，
∴λ＝0，μ∈R，
即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行．
课件40张PPT。第3章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量基本定理
3.1.4 空间向量的坐标表示234不共面 不能5两两互相垂直 单位向量不共面 6终点坐标 7891011121314基底的判断 15161718用基底表示空间向量 192021222324空间向量的坐标运算 252627282930313233343536373839点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.]
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
D [由于＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c，故选D.]
3．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
A [＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.]
4．已知a＝(x,1,2)，b＝(1,2，－y)，且(2a＋b)∥(－a＋2b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
B [2a＋b＝(2x＋1,4,4－y)，－a＋2b＝(2－x,3，－2y－2)，∵(2a＋b)∥(－a＋2b)，则存在非零实数λ，使得2a＋b＝λ(－a＋2b)，∴∴.]
5.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于( )
A.
B.
C.
D.
C [由图知B(1,1,0)，E，所以＝.]
二、填空题
6．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝________，y＝________.
－ [∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，显然y≠0，∴＝＝，∴x＝，y＝－.]
7．如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标．
＝________，OB1＝________.
(－2,0,1) (1,1,2) [∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，
∴＝(－2,0,1)，＝(1,1,2)．]
8．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量为________．
＋＋ [＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋(＋)－
＝＋＋.]
二、解答题
9.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值．
[解] (1)∵＋＝，
∴－－
＝－(＋)
＝－＝－＝.
(2)∵＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－.
即x＝，y＝－，z＝－.
10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B?
[解] 以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,3)．
∵E为BC的中点，
∴E(2,4,0)．
∴＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，
＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．
设＝λ，则＝＋＝＋λ.
∵＝(2,0,0)，λ＝(－4λ，－4λ，3λ)，
∴＝(2－4λ，－4λ，3λ)．
由PE∥A1B，得∥，
∴
∴λ＝.
此时点P为BD1的中点．
故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B.
[能力提升练]
1．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是( )
A.＝OA＋OB＋OC
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
C [对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.]
2．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{，，}下的坐标为( )
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)
B [∵a＝2＋－3＝2－－3＝－＋2－3DD1，∴向量a在基底{，，}下的坐标为(－1,2，－3)，故选B.]
3．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C点坐标为________．
[设C点坐标为(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
∵＝(－2，－6，－2)，
∴＝(－2，－6，－2)＝，
∴解得]
4．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
[设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，
则p＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又p＝a＋2b＋3c，
∴∴x＝，y＝－，z＝3.
∴p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为.]
5.如图所示，M，N分别是四面体O-ABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.
[解] ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
