3.1.5 空间向量的数量积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)
2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点)
3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)
1.通过数量积的概念、性质和运算律的学习，培养逻辑推理素养．
2.借助空间角、距离等问题，提升数学运算素养.
1．空间向量的夹角
a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，?a，b?的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
2．空间向量的数量积
(1)数量积的定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)数量积的性质
(1)cos?a，b?＝(a，b是两个非零向量)．
(2)a⊥b?a·b＝0(a，b是两个非零向量)．
(3)|a|2＝a·a＝a2.
(3)数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；
(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．数量积的坐标表示
(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)．
(3)|a|＝＝.
(4)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
(2)空间两点间距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝
.
思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？
(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0
(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．
1．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
D [△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°.]
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝
( )
A.1 B.
C. D.
D [ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.]
3．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝_________，＝__________.
(1，－1，－1) [＝(1，－1，－1)，||＝＝.]
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.
π [cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝π.]
求空间向量的数量积
【例1】 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·.
[思路探究] 法一(基向量法)：
与，与的夹角不易求，可考虑用向量，，表示向量，，，，再求结论即可．
法二(坐标法)：
建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．
[解] 法一(基向量法)：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0，2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，
∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)，
(1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16.
(2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.
解决此类问题的常用方法
1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．
2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．
1．在上述例1中，求·.
[解] 法一：·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0，2,2)，C1(2,4,2)，∴＝(－1,2,1)，＝(2,2,0)，
∴·＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.
利用数量积求夹角和距离
如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长；
(2)求与的夹角的余弦值．
[思路探究] 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC′的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．
[解] (1)∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
∴||＝.
(2)法一：设与的夹角为θ，
∵ABCD是矩形，∴||＝＝5.
由余弦定理可得
cos θ＝＝＝.
法二：设＝a，＝b，＝c，
依题意得·＝(a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60°
＝16＋9＋10＋＝，
∴cos θ＝＝＝.
1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝通过向量运算求|a|.
2．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝.
利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为，故〈a，b〉∈时，它们相等；而当〈a，b〉∈时，它们互补．
2．如图，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c分别表示向量，；
(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值．
[解] (1)＝(＋)＝[(－)＋(－)]
＝[(a－c)＋(b－c)]＝(a＋b－2c)，
＝(＋)＝[(－)－]
＝[(a－b)－b]＝(a－2b)．
(2)设棱长为1，即|a|＝|b|＝|c|＝1且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，则||＝||＝.
又·＝(a＋b－2c)·(a－2b)
＝(a2＋a·b－2a·c－2a·b－2b2＋4b·c)
＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴异面直线DM与CN所成角的余弦值为.
利用数量积解决平行和垂直问题
已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[思路探究] 利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解．
[解] (1)由a∥b，得
(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解得
∴实数λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解得λ＝－1.
因此，a＝(0,1，－2)．
向量平行与垂直问题主要有两种题型
1．平行与垂直的判断．
2．利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．
3．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．求证：A1B⊥C1M.
[证明] 如图所示，以，，为正交基底，建立空间直角坐标系C-xyz.
依题意得B(0,1,0)，A1(1,0,2)，，2)，B1(0,1,2)，则M，，2，于是＝(－1,1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，
∴⊥，故A1B⊥C1M.
1．空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
注意：(1)a·b＝a·cb＝c(向量的数量积不满足消去律)；
(2)a·b＝ka＝
(3)(a·b)c≠a(b·c)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(2)在△ABC中，〈，〉＝∠B.( )
(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( )
(4)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
B [由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，
|e1|＝|e2|＝1，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.]
3．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)．若a，b成120°的角，则k＝________.
－ [cos 〈a，b〉＝＝＝－，得k＝－.]
4.如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
[解] 由题意知＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos 〈，〉－||||cos 〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴cos 〈，〉＝＝
＝，
∴OA与BC所成角的余弦值为.
课件45张PPT。第3章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算
3.1.5 空间向量的数量积234∠AOB 〈a，b〉 [0，π] 互相垂直 a⊥b 5|a||b|·cos〈a，b〉 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 0 6a·a a2 b·a λ(a·b)a·b＋a·c 7x1x2＋y1y2＋z1z2 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 89101112131415求空间向量的数量积 161718192021利用数量积求夹角和距离 2223242526272829利用数量积解决平行和垂直问题 303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2DA)·(－)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋
所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0
所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形．]
2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
B [由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μ m·b＝0.因此m⊥n.]
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
C [·＝(＋)·AD＝(·＋·)＝＝a2.]
4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴AB与CD所成的角为60°.]
5.如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝( )
A．3 B．7
C．4 D．6
B [||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49.
所以||＝7.]
二、填空题
6．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________．
60° [分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1，1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.
则＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴〈，〉＝120°.
所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°.]
7．如图所示，已知直线AB⊥平面α，BC?α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．
2 [∵＝＋＋，
∠DCF＝30°，DF⊥平面α，
∴∠CDF＝60°，
∴||2＝(＋＋)2
＝4＋4＋4＋2×2×2×cos 120°
＝8，
∴||＝2.]
8．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.
或 [设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：
或]
三、解答题
9．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：
(1)AO⊥CD′；
(2)AC′⊥平面B′CD′.
[证明] 设正方体的棱长为1，
取A点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B′(1,0,1)，C(1,1,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，O，
则＝，＝(－1,0,1)，
＝(1,1,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)．
(1)∵·＝×(－1)＋1×0＋×1＝0，
∴AO⊥CD′.
(2)∵·＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，
·＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0.
∴AC′⊥B′C，AC′⊥B′D′.
又∵B′C∩B′D′＝B′，B′C?平面B′CD′，B′D′?平面B′CD′，
∴AC′⊥平面B′CD′.
10.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b，
(1)求||；
(2)求cos〈，〉．
[解] 如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，G，
＝，＝，＝(－a,0,0)．
(1)||＝ ＝ .
(2)cos〈，〉＝
＝＝.
[能力提升练]
1．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．45°
B [由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.
cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.]
2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
C [建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.]
3．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以，为边的平行四边形的面积为________．
7 [由题意可得，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝.
∴sin〈，〉＝，∴以，为边的平行四边形的面积S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.]
3.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________．
12 [法一：因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，
所以||＝12，即PC＝12.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,6)，C(0,6，0)，
∴PC＝＝12.]
5．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
[解] (1)证明：设＝p，＝q，＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
∴＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.
∴MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.
(2)由(1)可知，＝(q＋r－p)，
∴||2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝＝×2a2＝，
∴||＝a，∴MN的长为a.
