3.2 空间向量的应用
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)
2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)
3.平面法向量的设法．(易错点)
通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养数学运算素养.
1．直线的方向向量
我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．
2．平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
A [＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]
2．已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.
[解析] ＝(－1,0,1)，由题意知，a∥，则存在实数λ，使a＝λ，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即∴λ＝－2，x＝－2.
[答案] －2
3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交
C [因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.]
4．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为________．
[设平面的法向量为a＝(x，y，z)，
则有∴
令z＝1，得y＝－1，x＝，∴a＝
故平面ABC的一个单位法向量为a＝.]
直线的方向向量及其应用
【例1】 (1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________．
[思路探究] (1)利用两直线的方向向量共线求解；
(2)即是直线AB的一个方向向量，利用＝求点P的坐标．
(1)－14 6 (2)(0,6,2) [(1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以＝＝，解得x＝－14，y＝6.
(2)＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．
由AP∶PB＝3∶2，得＝.
设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝(0,6,2)，
即x－2＝0，y＝，z－1＝2·，
解得x＝2，y＝，z＝，
所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为.]
1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．
1．若直线l1的方向向量a＝(1,3x，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2,2y,5)，且l1⊥l2，则xy＝________.
2 [因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即－2＋6xy－10＝0，所以xy＝2.]
求平面的法向量
【例2】 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SBA与平面SCD的法向量．
[思路探究] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解．
[解] ∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，＝是平面SBA的法向量，
设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥，n⊥，则n·＝(1，λ，u)·＝＋λ＝0，∴λ＝－.
n·＝(1，λ，u)·＝－＋u＝0，∴u＝，∴n＝.
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．
[解] 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，M，N.
∴＝，＝.
设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令y＝2，∴x＝－3，z＝－4，∴n＝(－3,2，－4).
方向向量与法向量的特征
[探究问题]
1．如何正确地判断直线的方向向量？
[提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定惟一一条过点A且平行于向量a的直线．
(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
2．过空间任意一定点P，能否作出平面α的法向量？能作几条？
[提示] 由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．
由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面α的法向量也有无数个．
3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？
[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？
[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．
5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？
[提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．
【例3】 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．
(1)平面α，β的法向量分别是u＝(－1,1，－2)，ν＝；
(2)直线l的方向向量a＝(－6,8,4)，平面α的法向量u＝.
[思路探究] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．
[解] (1)∵u＝(－1,1，－2)，ν＝，
∴u·ν＝(－1,1，－2)·＝－3＋2＋1＝0，
∴u⊥ν，故α⊥β.
(2)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，
∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，
∴u⊥a，故l?α或l∥α.
3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．
[解] (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，
∴ν＝－3u，∴ν∥u，即α∥β.
引入直线的方向向量和平面的法向量这两个概念之后，使空间点线面的位置关系数量化，也就是说，每一种特殊的点、线、面位置关系(如线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直)都对应着一个重要的等量关系．如何巧妙地利用这些等量关系，正是解题的关键所在．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是l的一个方向向量．( )
(2)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．( )
(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )
(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．( )
(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
B [＝(－1,0,1)，由题意知，a∥，则存在实数λ，使a＝λ，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即∴λ＝－2，x＝－2.]
3．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________．
(1,1,0)(答案不唯一) [设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝0，
即n＝(1,1,0)．
则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．]
4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，求平面ABC1的一个法向量．
[解] 法一：设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)．∵B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，∴＝(0,1,0)，＝(1,0,1)，
则解得x＝－1，y＝0，∴n＝(－1,0,1)．
法二：设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，
∴＝(0,1,0)，＝(1,0,1)，
则令z＝1，则x＝－1，y＝0，∴n＝(－1,0,1)．
课件41张PPT。第3章 空间向量与立体几何3.2 空间向量的应用
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量234与e共线 方向向量 平面α的 法向量 向量n垂直于平面α 567891011直线的方向向量及其应用 1213141516求平面的法向量 17181920212223方向向量与法向量的特征 2425262728293031323334353637383940点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝( )
A．10 B．15
C．18 D．21
D [由l1∥l2，得＝＝，解得x＝12，y＝9.]
2．设直线l1的方向向量为a＝(2，－1,2)，直线l2的方向向量为b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
D [∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0，∴m＝－.]
3．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则l与α的位置关系是( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l∥α或l?α D．l?α
C [由题意知，因为a·b＝0，所以a⊥b，所以l在平面α内或l与平面平行．]
4．设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是( )
A．直线 B．平面
C．圆 D．椭圆
B [·n＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．]
5．已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3 B．1
C．2 D．－3或1
D [因为|a|＝6，所以4＋16＋x2＝36，即x＝±4，当x＝4时，a＝(2,4,4)，由a·b＝0，得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此时x＋y＝4－3＝1；当x＝－4时，a＝(2,4，－4)，由a·b＝0，得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此时x＋y＝－4＋1＝－3.
综上，得x＋y＝－3或x＋y＝1.]
二、填空题
6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________．
或 [设单位法向量n0＝(x，y，z)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
由n0·＝0，且n0·＝0得
解得或]
7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．
(2,1,0) [∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
依题意，应有n·＝0，n·＝0，
即解得令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．]
8．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
[∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，
∴＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)．
∵⊥，⊥，
∴·＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0，
·＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0，
∴
∴∴点P的坐标为.]
三、解答题
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明：是平面A1BC1的法向量．
[证明] 建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是＝(1,1,1)，＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，由于·＝－1＋1＝0，·＝－1＋1＝0.
∴⊥，⊥，∵BA1∩BC1＝B，∴DB1⊥平面A1BC1，即是平面A1BC1的法向量．
10．已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，建立空间直角坐标系如图．AB＝3，BC＝4，AA1 ＝2，
(1)求平面B1CD1的一个法向量；
(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．
[解] (1)在题图所示的空间直角坐标系A-xyz中各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，
由此得＝(0,4，－2)，＝(－3,0,2)，
设平面B1CD1的一个法向量为a＝(x，y，z)，
则a⊥，a⊥，从而a·＝0，a·＝0，
所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，
解方程组
得
不妨取z＝6，则y＝3，x＝4.
所以a＝(4,3,6)就是平面B1CD1的一个法向量．
(2)由题意可得，＝(x－3，y，z－2)，
因为a＝(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，
所以a⊥，从而a·＝0，
即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24，
所以满足题意的关系式是4x＋3y＋6z＝24.
[能力提升练]
1．若不重合的两个平面的法向量分别是a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交 D．不能确定
A [∵a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，
∴a＝－3b，a∥b.
∴这两个平面平行．]
2．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．2
B [易知a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1.]
3．已知平面α内有一个点A(－1,1,0)，α的一个法向量为n＝(－1,1,1)，则下列各点中，在平面α内的是________(填序号)．
①(1,3,2)；②(0,0,2)；③(1,2,1)；④.
②③ [设平面α内任意点P(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z)，故n·＝－x－1＋y－1＋z＝0，即x－y－z＋2＝0，把各点坐标代入检验，可知②③符合．]
4．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量；④∥.其中正确的结论是________．
①②③ [·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，即AP⊥AB；
·＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则⊥，即AP⊥AD，又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，
∴≠≠，所以与不平行．]
5.如图，四棱锥P-ABCD中，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，F在PB上，问F在何位置时，为平面DEF的一个法向量？
[解] 建系如图，设DA＝2，
则D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)．
∴E(0,1,1)，∵B(2,2,0)，
∴＝(2,2，－2)．
设F(x，y，z)，＝λ，
∴(x，y，z－2)＝λ(2,2，－2)，
∴
∴F(2λ，2λ，2－2λ)，
∴＝(2λ，2λ，2－2λ)．
∵·＝0，∴4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝，
∴F为PB的一个三等分点(靠近P点)．
