3.2.2 空间线面关系的判定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)
2.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系．(重点、难点)
3.向量法证明线面平行．(易错点)
1.通过线面位置关系的判断与证明，培养逻辑推理素养．
2.借助方向向量、法向量的应用，提升数学运算素养.
向量法判定线面关系
设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：
平行
垂直
l1与l2
e1∥e2
e1⊥e2
l1与α1
e1⊥n1
e1∥n1
α1与α2
n1∥n2
n1⊥n2
思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？
[提示] 垂直
1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则
( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
B [∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α.]
2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝，n2＝，则平面α与β的位置关系是________．
平行 [∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β.]
3．设直线l1的方向向量为a＝(3,1，－2)，l2的方向向量为b＝(－1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是________．
垂直 [∵a·b＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.]
4．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________．
垂直 [∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.]
利用空间向量证明线线平行
【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
[证明] 以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，
∴＝，＝，＝
，＝，
∵＝，＝，
∴∥，∥，
又∵F?AE，F?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
1．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
[证明] 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a，0,0)，C1(0，b，c)，E，F.
∴＝，＝(－a，b，c)，
∴＝.
又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.
利用空间向量证明线面、面面平行
[探究问题]
在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？
提示：可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．
【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
[思路探究]
[证明] 法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD.
法二：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD.
法三：＝－＝－＝－＝－＝－.
即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD.
1．本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
[证明] 由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，
则＝(0，－1,1)，＝(1,1,0)，
设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则，即
令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)，
又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.
2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
[证明] ∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB?平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
1．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β?μ∥v.
向量法证明垂直问题
【例3】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝
AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
[思路探究] →→→
→
[证明] AB，AD，AP两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，
则P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，
∴C，E.
设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，
即y＝，则D，
∴＝.
又＝，∴·＝－×＋×＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
(2)法一：∵P(0,0,1)，∴＝.
又·＝×＋×(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE.
∵＝(1,0,0)，∴·＝0.
∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
法二：＝(1,0,0)，＝，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．
∵＝，显然＝n.
∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
1．证明线线垂直常用的方法
证明这两条直线的方向向量互相垂直．
2．证明线面垂直常用的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
3．证明面面垂直常用的方法
(1)转化为线线垂直、线面垂直处理；
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
2．在例3中，平面ABE与平面PDC是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．
[解] 由例3，可知＝，＝，设平面PDC的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝，则x＝1，z＝2，即m＝(1，，2)，
由例3知，平面ABE的法向量为n＝(0,2，－)，
∴m·n＝0＋2－2＝0，∴m⊥n.
所以平面ABE⊥平面PDC.
1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．
(2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )
(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
D [∵l1∥l2，∴a∥b，
∴存在λ∈R，使a＝λb，
则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy，
∴x＝6，y＝.]
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.
－5 [∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝x－4＋9＝0，
∴x＝－5.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
[证明] 以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，＝(1,1,1)，＝，设平面B1DE的法向量为n1＝(x，y，z)，则x＋y＋z＝0且y＋z＝0，令z＝－2，则y＝1，x＝1，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.
课件46张PPT。第3章 空间向量与立体几何3.2 空间向量的应用
3.2.2 空间线面关系的判定234e1∥e2 e1⊥e2 e1⊥n1 e1∥n1 n1∥n2 n1⊥n2 567891011利用空间向量证明线线平行 1213141516利用空间向量证明线面、面面平行 171819202122232425262728向量法证明垂直问题 2930313233343536373839404142434445点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
D [因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l?α.]
2．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于( )
A．－3 B．0
C．1 D．3
B [由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0，故选B.]
3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
D [由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．]
4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)或
C.
D．(1,1,1)或
D [设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)，
＝(－1，1,0)，
＝(0，－1,1)．
又DB⊥AC?－x＋z＝0 ①，
DC⊥AB?－x＋y＝0 ②，
AD＝BC?(x－1)2＋y2＋z2＝2 ③，
联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选D.]
5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
B [建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，
＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，
E，F，
＝，∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥A1D，EF⊥AC.]
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1B1上任意一点，则DP与BC1始终________(填“垂直”或“平行”)．
垂直 [因为·＝(＋)·＝(＋)·＝·＋·＝·＝·(＋)＝·＋·＝0，
所以⊥，即DP与BC1始终垂直．]
7．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________三角形．
直角 [求得＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，因为·＝0，所以⊥，所以△ABC是直角三角形．]
8．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为________．
垂直 [以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．
∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.]
三、解答题
9．已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，
且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.
[解] (1)证明：因为PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.
所以以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz(如图所示)．
由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，所以＝(－2，0,1)，＝(0,2,0)，因为DC⊥平面PAD，所以是平面PAD的法向量，又因为·＝0，且BM?平面PAD，所以BM∥平面PAD.
(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则＝(x，－1，z－1)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，若MN⊥平面PBD，则即所以在平面PAD内存在点N，使MN⊥平面PBD.
10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
[证明] 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝，
(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
则
即
∴令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥，又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.
法二：∵＝(0,1，－2)，＝(2，4，－2)，
令＝x＋y，
则方程组有解为
∴＝－＋，由共面向量定理知与，共面．又∵CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，
＝(－，2,1)，
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，
∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
[能力提升练]
1．已知＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2,4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为( )
A．AB⊥α
B．AB?α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
D [因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.]
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
D [以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.]
3.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
垂直 [以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)．∵＝－n，∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.]
4．已知空间两点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，直线l的方向向量为a，若|a|＝3，且直线l与直线AB平行，则a＝________.
(2,1，－2)或(－2，－1,2) [设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,2)，且l与AB平行，∴a∥，
∴＝＝，∴x＝2y，z＝－2y.
又∵|a|＝3，∴|a|2＝x2＋y2＋z2＝4y2＋y2＋4y2＝9，
∴y＝±1，∴a＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．]
5．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上．当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．
[解] 法一：当EM＝a时，AM∥平面BDF，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则C(0,0,0)，B(0，a,0)，A(a,0,0)，D，F(0,0，a)，E(a,0，a)，因为AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF?与，共面，所以存在实数m，n，使＝m＋n，设＝t.因为＝(－a,0,0)，＝(－at,0,0)，所以＝＋＝(－at,0，a)，
又＝，＝(0，a，－a)，从而(－at,0，a)＝m(0，a，－a)＋n
成立，
需
解得t＝，
所以当EM＝a时，AM∥平面BDF.
法二：当EM＝a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，
设AC∩BD＝N，连接FN，
则CN∶NA＝1∶2，
因为EM＝a，
而EF＝AC＝a，
所以EM∶MF＝1∶2，
所以MF綊AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又因为NF?平面BDF，AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF.
