充分条件与必要条件的判断
【例1】 (1)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
A [当1<x<2时,2<2x<4,所以p?q;但由2x>1,得x>0,所以qp.]
(2)“a=0”是“函数f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.
[解析] 当a=0时,函数f(x)=x2+ax(x∈R)即为f(x)=x2,为偶函数;若f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数,则f(-x)=(-x)2+a(-x)=x2-ax=f(x)=x2+ax,则2ax=0(x∈R),解得a=0.
综上可知,“a=0”是“函数f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数”的充要条件.
[答案] 充要
条件的充要关系的常用判断方法
1.定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假.
2.等价法:利用A?B与綈B?綈A,B?A与綈A?綈B,A?B与綈B?綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
3.利用集合间的包含关系判断:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
1.下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是( )
A.a>b+1 B.a>b-1
C.a2>b2 D.a3>b3
A [a>b+1?a>b,a>ba>b+1.]
充分、必要、充要条件的应用
【例2】 已知函数f(x)=2sin(x∈R).设p:x∈,q:m-3<f(x)<m+3.若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
[解] ∵p:x∈?2x-∈,
∴f(x)∈.
又∵p是q的充分条件,
∴
解得-1<m<4,即m的取值范围为(-1,4).
利用条件的充要性求参数范围的两个策略
1.转化为集合关系解决此类问题,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
2.利用逆否命题转化解决,利用转化的方法理解充分必要条件:若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
2.已知p:2x2-9x+a<0,q:且q是p的充分条件,求实数a的取值范围.
[解] 由得即2<x<3.
所以q:2<x<3.
设A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3},
因为q?p,所以B?A.
设f(x)=2x2-9x+a,
要使B?A,则方程f(x)=0的两根分别在区间(-∞,2]和[3,+∞)内,
所以即
解得a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}.
利用命题的真假求参数的取值
【例3】 若命题“?x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a”是真命题,求实数a的取值范围.
[解] 法一:由题意,?x∈[-1,+∞),令f(x)=x2-2ax+2≥a恒成立,
所以f(x)=(x-a)2+2-a2≥a可转化为?x∈[-1,+∞),f(x)min≥a恒成立,而?x∈[-1,+∞),
f(x)min=
由f(x)的最小值f(x)min≥a,
知a∈[-3,1].
法二:x2-2ax+2≥a,
即x2-2ax+2-a≥0,
令f(x)=x2-2ax+2-a,
所以全称命题转化为?x∈[-1,+∞),
f(x)≥0恒成立,
所以Δ≤0或
即-2≤a≤1或-3≤a<-2.
所以-3≤a≤1.
综上,所求实数a的取值范围是[-3,1].
含量词的命题中求参数范围的讨论步骤
1.先根据条件推出每一个命题的真假.
2.求出每个命题为真命题时参数的取值范围.
3.最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
3.设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},如果命题“?t0∈R,A∩B≠?”是真命题,则实数a的取值范围是________.
[集合A是一个以C1(4,0)为圆心,r1=1为半径的圆周上的点的集合,集合B是一个以C2(t,at-2)为圆心,r2=1为半径的圆周上的点的集合,依题意,|C1C2|≤r1+r2,所以?t0∈R,≤2,即?t0∈R,(a2+1)·t-(8+4a)t0+16≤0,所以Δ=-48a2+64a≥0,解得0≤a≤.]
课件18张PPT。第1章 常用逻辑用语章末复习课234567891011121314151617Thank you for watching !章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列语句中是命题的是( )
A.梯形是四边形 B.作直线AB
C.x是整数 D.今天会下雪吗?
A [B与C虽是陈述句但不能判断真假,D是疑问句.]
2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.?x0∈R,使得f(x0)>0成立
B.?x0∈R,使得f(x0)≤0成立
C.?x∈R,使得f(x)>0成立
D.?x∈R,f(x)≤0成立
A [“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0,使得f(x0)>0成立”.故选A.]
3.命题“?x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( )
A.?x∈(-∞,0),x3+x<0
B.?x∈(-∞,0),x3+x≥0
C.?x∈[0,+∞),x3+x<0
D.?x∈[0,+∞),x3+x≥0
C [全称命题的否定是存在性命题,故该命题的否定是?x∈[0,+∞),x3+x<0.]
4.对于非零向量a,b,“a+b=”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [要区分向量平行与向量相等、向量相反等基本概念,向量平行不一定向量相反,向量相等或相反必平行.]
5.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
B [根据存在性命题的否定是全称命题,先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.]
6.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是( )
A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.?x∈R,f(x)≥f(x0)
C.?x∈R,f(x)≤f(x0) D.?x∈R,f(x)≥f(x0)
C [由题意知,x0=-为函数f(x)图象的对称轴方程,因为a>0,所以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因此“?x∈R,f(x)≤f(x0)”是假命题,故选C.]
7.“sin α=“cos α”是cos 2α=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
A [先将cos 2α=0等价转化,再利用充分条件、必要条件的定义进行判断.
cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.由cos α=sin α可得到cos 2α=0,反之不成立,故选A.]
8.设集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A [“x∈M或x∈P”不能推出“x∈M∩P”,反之可以.]
9.已知条件p:m>,条件q:点P(m,1)在圆x2+y2=4外,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [对q:m2+1>4,所以m2>3,
即m>或m<-,所以p?q,反之qp.]
10.下列叙述中正确的是( )
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β
D [由b2-4ac≤0推不出ax2+bx+c≥0.这是因为a的符号不确定,故A不正确;当b2=0时,由a>c推不出ab2>cb2,所以B不正确;“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,使x2<0”,所以C不正确.故选D.]
11.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )
A.ab=0 B.a+b=0
C.a2+b2=0 D.a=b
C [∵f(x)为奇函数,且x∈R,∴f(0)=0?b=0.又∵f(-x)=-f(x),即-x|-x+a|=-x|x+a|,即|x+a|=|-x+a|,即|x+a|=|x-a|恒成立,∴a=0.
综上可知a=b=0,即a2+b2=0,故选C.]
12.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对于x∈R恒成立,那么a的取值范围是( )
A.(-2,2) B.(-2,2]
C.(-∞,2] D.(-∞,-2)
B [当a=2时,-4<0恒成立,
当a≠2时,
解得-2<a<2.所以-2<a≤2.]
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中的横线上)
13.已知α,β是不同的两个平面,直线a?α,直线b?β,命题p:a与b无公共点;命题q:α∥β,则p是q的________条件.
必要不充分 [q?p,p q.]
14.若命题“?t∈R,t2-2t-a<0”是假命题,则实数a的取值范围是________.
(-∞,-1] [命题“?t∈R,t2-2t-a<0”是假命题.
则?t∈R,t2-2t-a≥0是真命题,
∴Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1].]
15.在直角坐标系中,点在第四象限的充要条件是________.
-1<m<或2<m<3 [因为点
在第四象限,
所以
即所以-1<m<或2<m<3.]
16.设p:(4x-3)2≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
[p:≤x≤1,q:a≤x≤a+1,易知p是q的真子集,
∴∴0≤a≤.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(3)?x∈{x|x>0},x+≥2;
(4)?x0∈Z,log2x0>2.
[解] (1)本题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在性命题,真命题.
(3)命题中含有全称量词“?”,是全称命题,真命题.
(4)命题中含有存在量词“?”,是存在性命题,真命题.
18.(本小题满分12分)已知p:三个数2x,,x成等比数列;q:三个数lg x,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列,则p是q的什么条件?
[解] 2x,,x成等比数列?2=2xx?x=1.
lg x,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列?2lg(x+1)=lg x+lg(x+3)??x=1.
由以上可知p?q,故p是q的充要条件.
19.(本小题满分12分)证明:函数f(x)=(x∈R)是奇函数的充要条件是a=1.
[证明] (充分性)若a=1,则函数化为f(x)=(x∈R).因为f(-x)====-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
(必要性)若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
所以=-,
所以=-,
所以a+(a-2)·2x=-a·2x-a+2,
所以2(a-1)(2x+1)=0,解得a=1.
综上所述,函数f(x)=(x∈R)是奇函数的充要条件是a=1.
20.(本小题满分12分)(1)是否存在实数m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件?
(2)是否存在实数m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件?
[解] (1)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,
则只要?{x|x<-1或x>3},
则只要-≤-1,即m≥2,
故存在实数m≥2,
使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,
则只要?{x|x<-1或x>3},
则这是不可能的,
故不存在实数m使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
21.(本小题满分12分)已知p:x2-8x-33>0,q:x2-2x+1-a2>0(a>0),若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.
[解] 解不等式x2-8x-33>0,得p:A={x|x>11或x<-3};
解不等式x2-2x+1-a2>0,得q:B={x|x>1+a或x<1-a,a>0}.
依题意p?q但qp,说明A?B.
于是有或解得0
所以正实数a的取值范围是(0,4].
22.(本小题满分12分)已知命题:“?x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合B;
(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集为A,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
[解] (1)命题:“?x∈{x|-1≤x≤1},都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题,得x2-x-m<0在-1≤x≤1上恒成立,所以m>(x2-x)max,得m>2,即B={m|m>2}.
(2)不等式(x-3a)(x-a-2)<0,
①当3a>2+a,即a>1时,解集A={x|2+a<x<3a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A?B,所以2+a≥2,此时a∈(1,+∞);
②当3a=2+a,即a=1时,解集A=?,可得出x∈A是x∈B的充分不必要条件;
③当3a<2+a,即a<1时,解集A={x|3a<x<2+a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A?B成立,
所以3a≥2,此时a∈.
综上可得a∈.