圆锥曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上都不对
(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
(1)C (2)＋＝1 [(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1.]
“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
1．点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．
[解] 抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，
所以|PM|＋|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.
圆锥曲线的方程
【例2】 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
(1)D (2)x2－＝1 [(1)由题意得，解得，
则b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为＋＝1.
(2)由题意得，解得，则b2＝c2－a2＝3，
因此双曲线方程为x2－＝1.]
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
2．(1)以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
C [由题意知2p＝8，故选C.]
(2)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
A [依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.]
圆锥曲线的几何性质
【例3】 (1)如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B.
C. D.
(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
[思路探究] (1)由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．
(2)根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出，再求渐近线方程．
(1)D (2)x±y＝0 [(1)由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，
|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
(2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.因为e1·e2＝，所以＝，即4＝，所以＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.]
求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
A [ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝＝.]
直线与圆锥曲线的位置关系
【例4】 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
[思路探究] (1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解．
[解] (1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|< .(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
直线与圆锥曲线的三种位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
1．相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
2．相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切．
3．相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．
4．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．
[解] (1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2,0)，得a＝2，∴c＝，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)由e＝，设椭圆方程为＋＝1，
联立得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即∴≤a2≤4，
故a的取值范围是≤a≤2.
课件31张PPT。第2章 圆锥曲线与方程章末复习课23456789101112131415161718192021222324252627282930Thank you for watching !章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A. B．2
C．2 D．4
D [方程化为标准方程为－＝1，
∴a2＝3，b2＝9，
∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.]
2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B.
C．1 D.
B [抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.]
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
A [由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.]
4．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A. B.
C. D.
A [抛物线的焦点为(1,0)，由题意知＝2.
即m＝，则n＝1－＝，从而mn＝.]
5．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D [由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，∴a＝4.又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝42－(2)2＝4，∴椭圆的方程为＋＝1.]
6．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16
C．32 D．64
B [抛物线中2p＝8，p＝4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，由得x2－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12(x1，x2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.]
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
D [由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，可得＝×2. ①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得＝. ②
由①②解得a＝2，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.]
8．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )
A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1)
C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1)
D [设P(x0，y0)，M(x，y)，则所以
由于y＝x0，所以4y2＝2x－2，
即y2＝(x－1)．]
9．已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cos θ＝，则方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的椭圆
D [∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝－.∵θ为△ABC的一个内角，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ>－cos θ>0，∴>>0，∴方程x2sin θ－y2cos θ＝1是焦点在y轴上的椭圆．]
10．设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
A [设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A.]
11．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为( )
A．x2－＝1(x>1)
B．x2－＝1(x<－1)
C．x2＋＝1(x>0)
D．x2－＝1(x>1)
A [设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2，∴点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.故双曲线的方程是x2－＝1(x>1)．]
12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D [因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b.所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，选D.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为________．
[因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2与x轴垂直，且点P的坐标为，所以|PF2|＝，则|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝.]
14．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
8 [由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，
又|AK|＝|AF|，
|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，
∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.]
15．如图等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，则抛物线E的方程为________．
x2＝4y [依题意知，|OB|＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12.因为点B(4，12)在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.]
16．如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
＋1 [如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝＋1.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
[解] 设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长为
＝
＝2.
由2＝6.
解得m＝1或m＝－9.
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.
18．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
[解] (1)|PF1|·|PF2|≤2＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝， ①
由题意知：
∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. ②
由①②得c＝6，∴b＝8.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若椭圆＋＝1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．
[解] (1)依题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝16(a>0)．
∵圆与y轴相切，∴a＝4，
∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝16.
(2)∵椭圆＋＝1的离心率为，
∴e＝＝＝，解得b2＝9.
∴c＝＝4，
∴F1(－4,0)，F2(4,0)，
∴F2(4,0)恰为圆心C，
(ⅰ)过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2(图略)，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°，符合题意；
(ⅱ)过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，
连接CP3，CP4(图略)，则∠F1P3F2＝∠F1P4F＝90°，符合题意．
综上，圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解] (1)由题意，得＝，又点(2，)在C上，所以＋＝1，两方程联立，可解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
所以直线OM的斜率kOM＝＝－，所以kOM·k＝－.
故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
[解] (1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.
所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝＝0，
所以y1＋＝2x1，
故A为线段BM的中点．
22．(本小题满分12分)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
[解] (1)依题意知F1点坐标为(－c,0)，
设M点坐标为(－c，y)．
若A点坐标为(－a,0)，则B点坐标为(0，－b)，
则直线AB的斜率k＝.(A点坐标为(a,0)，B点坐标为(0，b)时，同样有k＝)
则有＝，∴y＝. ①
又∵点M在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1. ②
由①②得＝，∴＝，
即椭圆的离心率为.
(2)设|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，
则m＋n＝2a，|F1F2|＝2c.
在△F1QF2中，cos θ＝
＝＝－1≥－1＝0.
当且仅当m＝n时，等号成立，
∴0≤cos θ≤1，∴θ∈.
即∠F1QF2的取值范围是.
