一、常用逻辑用语
1．充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，则p是q的充要条件．
(3)若p?q，qp，则p是q的充分不必要条件．
(4)若pq，q?p，则p是q的必要不充分条件．
(5)若pq，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．全称命题与存在性命题的否定
(1)全称命题的否定
p：?x∈M，p(x)．
綈p：?x∈M，綈p(x)．
(2)存在性命题的否定
p：?x∈M，p(x)．
綈p：?x∈M，綈p(x)．
二、圆锥曲线与方程
1．椭圆
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)，
焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)．
(3)椭圆的几何性质
①范围：对于椭圆＋＝1(a>b>0)，
－a≤x≤a，－b≤y≤b.
②对称性：椭圆＋＝1或＋＝1(a>b>0)，
关于x轴，y轴及原点对称．
③顶点：椭圆＋＝1的顶点坐标为A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
④离心率：e＝，离心率的范围是e∈(0,1)．
⑤a，b，c的关系：a2＝b2＋c2.
2．双曲线
(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，叫做双曲线．
(2)双曲线的标准方程
焦点在x轴上：－＝1(a>0，b>0)，
焦点在y轴上：－＝1(a>0，b>0)；
(3)双曲线的几何性质
①范围：对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，
y≥a或y≤－a，x∈R，
②对称性：双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)
关于x轴，y轴及原点对称．
③顶点：双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1(－a,0)，A2(a,0)，双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1′(0，－a)，A2′(0，a)，
④渐近线：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
⑤离心率：e＝，双曲线离心率的取值范围是e∈(1，＋∞)，
⑥a，b，c的关系：c2＝a2＋b2.
3．抛物线
(1)抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
(2)抛物线的标准方程
焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0)．
(3)抛物线的几何性质
①范围：对于抛物线x2＝2py(p>0)，
x∈R，y∈[0，＋∞)．
②对称性：抛物线y2＝±2px(p>0)，关于x轴对称，
抛物线x2＝±2py(p>0)，关于y轴对称．
③顶点：抛物线y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的顶点坐标为(0,0)．
④离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e＝1.
三、空间向量与立体几何
1．空间向量及其运算
(1)共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)，
(2)P，A，B三点共线?＝x＋y(x＋y＝1)，
(3)共面向量定理：p与a，b共面?p＝xa＋yb，
(4)P，A，B，C四点共面?＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，
(5)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
(6)空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，
②λa＝(λa1，λa2，λa3)，
③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，
④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，
⑤a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
⑥|a|＝＝，
⑦cos〈a，b〉＝＝，
⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，||＝.
2．立体几何中的向量方法
(1)异面直线所成的角
两条异面直线所成的角为θ，两条异面直线的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝，
(2)直线与平面所成的角
直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝
(3)二面角
二面角为θ，n1，n2为两平面的法向量，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
1．使a>b成立的充分不必要条件是a>b－1.(×)
a>b－1a>b.
2．当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
3．“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)
4．命题p：?x∈(0，＋∞)，则x2＋2x＋1>0，则綈p为：?x∈(－
∞，0]，使x2＋2x＋1≤0.(×)
[提示] 綈p应为?x∈(0，＋∞)，使x2＋2x＋1≤0.
5．命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题．(×)
[提示] 此命题是全称命题，但是是假命题．
6．“x>6”是“x>1”的充分不必要条件．(√)
[提示] x>6?x>1，但x>1x>6.
7．平面内与两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆．(×)
8．椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(√)
[提示] 椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值．
9．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×)
[提示] |F1F2|＝8，故点的轨迹是线段F1F2.
10．椭圆2x2＋3y2＝12的焦点坐标为(0，±)．(×)
[提示] 椭圆标准方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝2，故椭圆的焦点坐标为(±，0)．
11．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，焦距为6，则实数m的值为4. (×)
[提示] 当焦点在x轴上时，由25－m2＝9得m＝4，当焦点在y轴上时，m2－25＝9得m＝.
12．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝8，则点P的轨迹是双曲线的右支．(×)
[提示] 点P的轨迹是一条射线．
13．“0≤k<3”是方程＋＝1表示双曲线的充要条件．(×)
[提示] 当0≤k<3时，方程＋＝1表示双曲线，若方程＋＝1表示双曲线，则有(k＋1)(k－5)<0，即－114．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为2.(×)
[提示] 双曲线标准方程为－＝1，因此双曲线的实轴长为4.
15．等轴双曲线的渐近线相同．(√)
[提示] 等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
16．到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)
[提示] 当定点在定直线上时点的轨迹是一条直线．
17．抛物线y＝2x2的焦点坐标是.(×)
[提示] 抛物线标准方程为x2＝y，故焦点坐标为.
18．抛物线y2＝2px(p>0)中过焦点的最短弦长为2p.(√)
[提示] 抛物线中通径是最短的弦长．
19．抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程为y＝2，则实数a的值是.(×)
[提示] 抛物线标准方程为x2＝y，则－＝2，解得a＝－.
20．AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.(√)
21．若空间任一点O和不共线的三点A，B，C满足＝＋－，则点P与A，B，C共面．(√)
[提示] ＋－1＝1，故四点共面．
22．a，b为空间向量，则cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．(√)
[提示] 〈a，b〉＝〈b，a〉，则cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．
23．两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直．(√)
[提示] 由平面法向量的定义可知．
24．直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直．(×)
[提示] 直线的方向向量与平面的法向量平行．
25．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.(√)
[提示] 假设k1≠0，则e1＝－e2－e3，则e1，e2，e3共面．
26．若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150°，则直线与平面所成的角为30°.(×)
[提示] 直线与平面所成的角为60°.
27．若直线与平面所成的角为0°，则直线在平面内．(×)
[提示] 直线与平面也可能平行．
28．两个平面的法向量所成的角为120°，则两个平面所成的二面角也是120°.(×)
[提示] 二面角的度数是120°或60°.
29．两条异面直线所成的角为30°，则两条直线的方向向量所成的角可能是150°.(√)
[提示] 根据向量所成角的定义知正确．
30．若二面角是30°，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30°.(×)
[提示] 在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30°或150°.
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A [因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.故选A]
2．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
D [法一：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故选D.
法二：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.]
3．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
C [法一：如图，补上一相同的长方体CDEF-C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以DE1＝＝＝2，DB1＝＝，B1E1＝＝＝，在△B1DE1中，由余弦定理得cos∠B1DE1＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.
法二：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝
，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.
法三：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.]
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A． B．3
C．2 D．4
B [因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，
所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.]
5．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
[解析] 法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝.取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.
[答案] 2
6．(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
[解] (1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF?平面PEF，EF?平面PEF，且PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，PF2＋PE2＝EF2，故PE⊥PF.
可得PH＝，EH＝.
则H(0,0,0)，P，D，＝，＝为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝＝＝.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
7．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
[解] (1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为或.
所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
课件52张PPT。模块复习课2必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 34和 5－a≤x≤a －b≤y≤b x轴 y轴 6(0,1) a2＝b2＋c2 7差的绝对值8y≥a或y≤－a x轴，y轴 9A1(－a,0)， A2(a,0) A1′(0，－a)， A2′(0，a) (1，＋∞) c2＝a2＋b2 10相等 11 [0，＋∞) x轴 y轴 (0,0) 1 12a＝λb(b≠0) p＝xa＋yb 13xa＋yb＋zc 基底 (a1±b1，a2±b2，a3±b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 14a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 151617× √ × × 18× √ × √ 19× × 20× × 21× 22× √ × 23× √ × 24√ √ 25√ √ × 26√ × 27× × 28√ × 2930313233343536373839404142434445464748495051Thank you for watching !模块综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [∵a2＜2a?a(a－2)＜0?0＜a＜2.
∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．]
2．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．?x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B．?x>0，使得(x＋1)ex≤1
C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．?x≤0，总有(x＋1)ex≤1
B [命题p为全称命题，所以綈p为?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1.故选B.]
3．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
B [由题意，1－＝2＝，∴＝，而双曲线的离心率e2＝1＋＝1＋＝，∴e＝.]
4．已知空间向量a＝(t,1，t)，b＝(t－2，t,1)，则|a－b|的最小值为( )
A. B.
C．2 D．4
C [|a－b|＝≥2，故选C.]
5．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．以上都不对
D [对于＋＝1，有a2>9或a2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A，B，C均不正确，故选D.]
6．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1-AB-C为
( )
A. B.
C. D.
D [以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则平面ABC的一个法向量为＝(0,0,1)，平面ABC1的一个法向量为＝(0,1，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝，又二面角C1-AB-C为锐角，即π－π＝，故选D.]
7．命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
C [∵?x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.]
8．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
B [由已知可得，抛物线的焦点坐标为.又直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2，则|OA|＝，故S△OAF＝··＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.]
9．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当·取最小值时，点D的坐标为( )
A. B.
C. D.
C [点D在直线OC上运动，因而可设＝(a，a,2a)，则＝(1－a,2－a,3－2a)，＝(2－a,1－a,2－2a)，·＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝时，·取最小值，此时＝.]
10．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为( )
A．－ B．
C．± D．±
C [由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则斜率k＝＝±＝±＝±＝±(1－e)＝±，故选C.]
11．若F1，F2为双曲线C：－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
B [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，点P到x轴的距离为|yP|，则S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝r1r2，又4c2＝r＋r－2r1r2cos 60°＝(r1－r2)2＋2r1r2－r1r2＝4a2＋r1r2，得r1r2＝4c2－4a2＝4b2＝4，所以S△F1PF2＝r1r2sin 60°＝＝·2c·|yP|＝|yP|，得|yP|＝，故选B.]
12．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
C [如图．设|AF|＝r1，|BF|＝r2，则|MN|＝.在△AFB中，因为|AF|＝r1，|BF|＝r2且∠AFB＝，所以由余弦定理，得|AB|＝＝，所以＝＝×＝×≤×＝，当且仅当r1＝r2时取等号．故选C.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________(填序号)．
①②③ [∵·＝－2－2＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AB，①正确；∵·＝－4＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AD，②正确；由①②可得是平面ABCD的法向量，③正确；由③可得⊥，④错误．]
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________．
－＝1 [由已知得＝2，所以b＝2a.在y＝2x＋10中令y＝0得x＝－5，故c＝5，从而a2＋b2＝5a2＝c2＝25，所以a2＝5，b2＝20，所以双曲线的方程为－＝1.]
15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C的方程为________．
＋y2＝1 [由e＝＝，得c2＝a2，所以b2＝a2－c2＝a2
设P(x，y)是椭圆C上任意一点，则＋＝1，所以x2＝a2(1－)＝a2－3y2.|PQ|＝＝＝，
当y＝－1时，|PQ|有最大值.由＝3，可得a2＝3，
所以b2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.]
16．四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________．
[如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，则重心G，因此＝(0,0,1)，＝，所以sin θ＝|cos〈，〉|＝＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
[解] ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴B?A.
当B＝?时，得a＝0；
当B≠?时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．
则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝.
综上所述，实数a组成的集合是.
18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
[解] (1)由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝λ，又双曲线过点(4，－)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)．由点M(3，m)，得＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，又点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0.
19.(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．
[解] (1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图(1)．
(1)
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴AA1⊥CD.
又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，
(2)
∴＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得
取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．
设AA1与平面AB1C所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1.
20.(本小题满分12分)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)用p表示|AB|；
(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．
[解] (1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
(2)由(1)知，x1x2＝，x1＋x2＝3p，
∴y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，∴·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，解得p2＝4，∴p＝2.
∴这个抛物线的方程为y2＝4x.
21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：∵PA＝AD＝1，PD＝，
∴PA2＋AD2＝PD2，
即PA⊥AD.
又PA⊥CD，AD∩CD＝D，
∴PA⊥平面ABCD.
(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，
E，＝(1,1,0)，＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即令y＝1，
则n＝(－1,1，－2)．
假设侧棱PC上存在一点F，且＝λ(0≤λ≤1)，
使得BF∥平面AEC，则·n＝0.
又∵＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，
∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，
∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点．
22.(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
[解] (1)∵BF2＝，而BF＝OB2＋OF＝b2＋c2＝2＝a2，
∵点C在椭圆上，C，
∴＋＝1，
∴b2＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线BF2的方程为＋＝1，与椭圆方程＋＝1联立方程组，
解得A点坐标为，
则C点的坐标为，
又F1为(－c,0)，kF1C＝＝，
又kAB＝－，由F1C⊥AB，得·＝－1，
即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝＝.
