1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题(不作要求)
1.1.2 充分条件和必要条件
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)
2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)
3．培养辩证思维能力.
通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.
1．符号?与的含义
命题真假
“若p则q”为真
“若p则q”为假
表示方法
p?q
pq
读法
p推出q
p不能推出q
2.充分、必要条件的含义
条件关系
含义
p是q的充分条件
(q是p的必要条件)
p?q
p是q的充要条件
p?q
p是q的充分不必要条件
p?q，且qp
p是q的必要不充分条件
pq，且q?p
p是q的既不充分又不必要条件
pq，且q p
思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p?q (2)等价
1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]
2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
B [若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]
3．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
D [本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]
4．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．
(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．
(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．
(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．
(4)“sin α>sin β”是“α>β”的________条件．
(1)充要 (2)充分不必要 (3)必要不充分 (4)既不充分也不必要 [(1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要”．
(2)因为两个三角形全等?两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要”．
(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0?a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．
(4)因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β”是“α>β”的既不充分也不必要条件．]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1.
[思路探究] 判断p?q与q?p是否成立，当p、q是否定形式，
可判断綈q是綈p的什么条件．
[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要条件．
(2)因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，即綈q?綈p，但綈p?綈q，所
以p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断方法
1．定义法
2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若綈p?綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若綈p?綈q，且綈q綈p，则p是q的必要不充分条件；
若綈p?綈q，则p与q互为充要条件；
若綈p綈q，且綈q綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．]
(2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是( )
①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；
③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；
④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．
A．①④ B．①②③
C．①②③④ D．①②④
D [①Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．
②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．
③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．
④Δ＝b2－4ac<0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根?函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]
充要条件的探求与证明
(1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为( )
A．0
C．x>0 D．x<4
(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
[思路探究] (1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．
(2)充要条件的证明可用其定义，即条件?结论且结论?条件．如果每一步的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“?”写出证明．
[解析] (1)由x2－4x<0得0[答案] B
(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，
即<.
必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
法二：<?－<0?<0.
由条件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.
所以<?xy>0，
即<的充要条件是xy>0.
1．探求充要条件一般有两种方法：
(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．
2．充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要证明“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)
B [由x(x－2)<0得0(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分、必要条件的应用
[探究问题]
1．若集合A?B，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？“x∈B”是“x∈A”的什么条件？
[提示] 因为A?B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．
2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？
[提示] 当AB且BA时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．
3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗，若集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？
[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，A?B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．
【例3】 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路探究] →→
{m|m≥9}(或[9，＋∞)) [由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qDp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)
因为p是q的必要不充分条件，所以q?p，且pq.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}?{x|－2≤x≤10}
所以，解得0即m的取值范围是(0,3]．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q?P.
所以解得－1≤a≤5
即a的取值范围是[－1,5]．
利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围
1．化简p、q两命题，
2．根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，
3．利用集合间的关系建立不等关系，
4．求解参数范围．
1．充分条件、必要条件的判断方法：
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p?q，只需证
它的逆否命题綈q?綈p即可；同理要证q?p，只需证綈p?綈q即
可．
(3)利用集合间的包含关系进行判断．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果p是q的充分条件，那么命题“若p则q”为真．( )
(2)命题“若p则q”为假，记作“q?p”．( )
(3)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(4)若“pq”，则q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，
由已知条件，知{x|x＜m}?{x|x＞2或x＜1}，
∴m≤1.]
4．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.
[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，
由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以即
所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.
综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．
课件47张PPT。第1章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题(不作要求)
1.1.2 充分条件和必要条件234? 推出 不能推出 5p?q p?q 充分不必要 必要不充分 678910111213充分条件、必要条件、充要条件的判断 1415161718192021充要条件的探求与证明 222324252627282930充分、必要条件的应用 31323334353637383940414243444546点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则01”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
A [由函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称可得－＝1，即m＝－2，且当m＝－2时，函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，故选A.]
4．设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件．s是r的充要条件，则s是p的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由题可知，p r?s，则p?s，sp，故s是p的必要不充分条件．]
5．若x>2m2－3是－1A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
D [由x>2m2－3是－1二、填空题
6．设集合A＝{x|x(x－1)<0}，B＝{x|0充分不必要 [A＝{x|x(x－1)<0}＝{x|07．“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增的________条件．”
充分不必要 [当a>0时，y＝a2＋1－，在上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．
当a＝0时，此时y＝x＋1, 在R上单调递增，
因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．
综上，“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．]
8．若p：x(x－3)<0是q：2x－3[3，＋∞) [由x(x－3)<0得0由p是q的充分不必要条件知{x|0所以(m＋3)≥3，解得m≥3.]
三、解答题
9．已知p：－4[解] 设q、p表示的范围为集合A、B，
则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．
因q是p的充分条件，则有A?B，
即所以－1≤a≤6.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋c，探究数列{an}是等差数列的充要条件．
[解] 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c.
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2，
∴c＝－1.
反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1(n∈N*)，∴{an}为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
[能力提升练]
1．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
A [由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1?a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5 4≥3.5＋1，故a>ba≥b＋1，故A正确．]
2．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m＞ B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞1
C [不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立?Δ＜0，
即1－4m＜0，即m＞.
结合选项可知，其一个必要不充分条件为m＞0，故选C.]
3．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件．
充分不必要 [∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈，
当〈m，n〉∈时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．]
4．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________．
(3，＋∞) [因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，
f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，
所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.
又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以2－t<－1，即t>3.]
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[证明] 充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
显然，当n＝1时，也成立．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p，
即数列{an}为等比数列，
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p.
所以－p＝pq，即q＝－1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
