1.2 简单的逻辑联结词(不作要求)
1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量 词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点)
2.能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点)
3.了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)
1.通过对含有量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．
2.借助含量词的命题的真假求参数问题，提升数学运算素养.
1．全称量词和全称命题
全称量词
“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词
符号表示
?
全称命题
含有全称量词的命题称为全称命题
符号表示
?x∈M，p(x)
2．存在量词和存在性命题
存在量词
“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词
符号表示
?
存在性命题
含有存在量词的命题称为存在性命题
符号表示
?x∈M，p(x)
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在性命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是存在性命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是存在性命题，可改写为“?x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”
(2)是全称命题，可改写成：“?x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．全称命题和存在性命题的否定
1．下列命题中为全称命题的是( )
A．至少有一个自然数是2的倍数
B．存在小于零的整数
C．方程3x＝2有实数根
D．无理数是小数
D [D中“无理数”指的是所有的无理数．]
2．下列语句是存在性命题的是( )
A．整数n是2和7的倍数
B．存在整数n，使n能被11整除
C．x＞7
D．?x∈M，p(x)成立
B [B选项中有存在量词“存在”，故B项是存在性命题，A和C不是命题，D是全称命题．]
3．下列四个命题中的真命题为( )
A．?x∈Z,1<4x<3
B．?x∈Z,5x＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2>0
D [当x∈R时，x2＋x＋2＝2＋>0，故选D.]
4．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则命题p的否定是________．
?x∈R，sin x＞1 [命题p是全称命题，其否定应为存在性命题，即綈p：?x∈R，sin x＞1.]
两种命题的概念及真假判断
【例1】 指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)能被5整除的整数末位数是0；
(4)有一个角α，使sin α>1
[解] (1)是全称命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在性命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．
(4)是存在性命题，因为?α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．
1．判断命题是全称命题还是存在性命题的方法
(1)分析命题中是否含有量词；
(2)分析量词是全称量词还是存在量词；
(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
2．全称命题与存在性命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
(2)要判定存在性命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
1．(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]
(2)下列命题中，真命题是( )
A．?x∈，sin x＋cos x≥2
B．?x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1
C．?x∈R，x2＋x＝－1
D．?x∈，tan x>sin x
B [(1)对于选项A，
sin x＋cos x＝sin≤，∴此命题不成立；
对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；
对于选项C，x2＋x＋1＝2＋>0，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；
对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选B.]
含有一个量词的命题的否定
【例2】 (1)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x
B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x
D．?x∈R，x2＝x
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：
①p：?x∈R，x2－x＋≥0；
②p：所有的正方形都是菱形；
③p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[思路探究] 先判定命题是全称命题还是存在性命题，再针对不同的形式加以否定．
(1)D [原命题的否定为?x∈R，x2＝x，故选D.]
(2)[解] ①綈p：?x∈R，x2－x＋<0，假命题．
因为?x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
②綈p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
③綈p：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
对全称命题和存在性命题进行否定的步骤与方法
1．确定类型：是存在性命题还是全称命题．
2．改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．
3．否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．
2．(1)命题“?x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是( )
A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．?x∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．?x?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
A [存在性命题的否定是全称命题，故原命题的否定是?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.]
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假．
①p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
②q: 存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；
③r：等圆的面积相等，周长相等；
④s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
[解] ①这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有
实数根”，其否定形式是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以
綈p是真命题．
②这一命题的否定形式是綈q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得綈q是真命题．
③这一命题的否定形式是綈r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知綈r是假命题．
④这一命题的否定形式是綈s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以綈s是假命题.
由命题的真假确定参数的范围
[探究问题]
1．若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？
提示：先求綈p，再求参数的取值范围．
2．全称命题和存在性命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？
提示：全称命题与恒成立问题对应，存在性命题与存在性问题对应．
【例3】 (1)若命题p“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
(2)已知命题p：?x∈R,9x－3x－a＝0，若命题p是真命题，求实数a的取值范围．
[思路探究] (1)先求綈p，再求参数的取值范围．
(2)令3x＝t，看作一元二次方程有解问题．
(1) [－2，2] [綈p：?x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题．
则Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2]
(2)解：设3x＝t，由于x∈R，则t∈(0，＋∞)，
则9x－3x－a＝0?a＝(3x)2－3x?a＝t2－t，t∈(0，＋∞)，
设f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)，
则f(t)＝2－，
当t＝时，f(t)min＝－，
则函数f(t)的值域是，
所以实数a的取值范围是.
母题探究：1.若将本例题(2)条件“?x∈R”，改为“?x∈[0,1]”，其他不变，试求实数a的取值范围．
[解] 设3x＝t，x∈[0,1]，∴t∈[1,3]．
a＝t2－t，
∵t2－t＝2－，∴a＝t2－t在t∈[1,3]上单调递增．
∴t2－t∈.
即a的取值范围是.
2．将本例题(2)换为“?x∈，tan x≤m是真命题”，试求m的最小值．
[解] 由已知可得m≥tan x恒成立．设f(x)＝tan x，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f＝tan ＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.
应用两种命题求参数范围的两类题型
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决．
2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．
3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．
4．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( )
(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )
(3)命题：?x∈R，x2－3x＋3>0的否定是?x?R，x2－3x＋3≤0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
D [全称命题的否定为相应的存在性命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]
3．命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＜0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：________.
存在性命题 假 ?x∈R，x2＋2x＋5≥0 [命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＜0是存在性命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．
命题p的否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.]
4．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假；
(1)对某些实数x，有2x＋1>0；
(2)?x∈{3,5,7},3x＋1是偶函数；
(3)?x∈Q，x2＝3
[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在性命题，真命题．
(2)命题中含有全称量词的符号“?”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．
(3)命题中含有存在量词的符号“?”，因此是存在性命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
课件46张PPT。第1章 常用逻辑用语1.2 简单的逻辑联结词(不作要求)
1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量 词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定234所有 任意 每一个 ? 全称量词 5有一个 有些 存在一个 ? 存在量词 678910111213两种命题的概念及真假判断 1415161718192021含有一个量词的命题的否定 2223242526272829由命题的真假确定参数的范围 30313233343536373839404142434445点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题为存在性命题的是( )
A．奇函数的图象关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
D [A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在性命题，故选D.]
2．下列命题为真命题的是( )
A．?x∈R，cos x<2
B．?x∈Z，log2(3x－1)<0
C．?x>0,3x>3
D．?x∈Q，方程x－2＝0有解
A [A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0?0<3x－1<1?
3．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0
D．?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
C [原命题的否定为“?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0”，故选C.]
4．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列结论正确的是( )
A．p真q假 B．p假q真
C．p真q真 D．p假q假
B [由20＝30知p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，所以方程x3＋x2－1＝0在(0,1)内有解，所以q为真命题，B正确．]
5．命题p：?x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范
围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得0则綈p：a<0或a>4.]
二、填空题
6．下列命题：
①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
其中是全称命题的为________，是存在性命题的为________．
(填序号)
②④ ①③ [全称命题为②④，存在性命题为①③.]
7．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是____________________．
有些偶函数的图象关于y轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．]
8．已知命题：“?x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
[－8，＋∞) [当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，
∴a≥－8.]
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)?x，y∈Z,3x－4y＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的绝对值是它本身．
[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.
(2)真命题．命题的否定为：?x，y∈Z,3x－4y≠20.
(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
[解] 法一：由题意知：x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
[能力提升练]
1．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x ∈R，?n∈N*，使得nB．?x ∈R，?n∈N*，使得nC．?x ∈R，?n∈N*，使得nD．?x ∈R，?n∈N*，使得nD [将“?”改写为“?”，“?”改写为“?”，再否定结论可得，命题的否定为“?x∈R，?n∈N*，使得n2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0)
D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C [f(x)＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a>0)，
∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－，
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴?x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．]
3．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为________．
?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n [全称命题的否定为存在性命题，因此原命题的否定为“?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n”]
4．命题p：?x∈[0，π]，使sin [0≤x≤π，则≤x＋≤，所以－≤sin≤1；而命题p：?x∈[0，π]，使sin－.]
5．已知命题p：?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：?x∈R，ax2－2ax－3>0，若p假q真，求实数a的取值范围．
[解] 因为命题p是假命题，
所以命题綈p：?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0是真命题，则(a－1)2－4>0，
解得a<－1或a>3.
因为命题q：?x∈R，ax2－2ax－3>0是真命题．
所以当a＝0时，－3<0，不满足题意；
当a<0时，(－2a)2＋12a>0，所以a<－3.
当a>0时，函数y＝ax2－2ax－3的图象开口向上，一定存在满足条件的x0，故a<－3或a>0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
