2.1 圆锥曲线
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)
2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)
1.通过平面截圆锥面，培养数学抽象素养．
2.借助截得的圆锥面，提升直观想象素养.
圆锥曲线
(1)用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．
(2)设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a>0)．
定义(自然语言)
数学语言
椭圆
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
PF1＋PF2＝2a＞F1F2
双曲线
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
|PF1－PF2|＝2a＜F1F2
抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
PF＝d，其中d为点P到l的距离
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2.
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
1．已知F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝3，则点P的轨迹为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
A [∵|PF1|＋|PF2|＝3＞|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．]
2．已知F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝1，则点P的轨迹为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
D [∵|PF1|－|PF2|＜|F1F2|，∴轨迹为双曲线的一支．]
3．已知抛物线上一点P到焦点F的距离为，则点P到抛物线准线的距离为________．
[根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P到准线的距离为.]
4．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是________．
一条射线(F1F2的延长线) [∵|F1F2|＝10，
∴|PF1|－|PF2|＝|F1F2|.
则点P的轨迹是一条射线(F1F2的延长线)．]
椭圆的定义及应用
【例1】 (1)已知△ABC中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC的周长为16，试确定顶点C的轨迹；
(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长．
[思路探究] (1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．
[解] (1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)．
(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.
椭圆定义的应用方法
1．判定动点P的轨迹为椭圆，关键分析两点：①点P到两定点的距离之和是否为常数，②该常数是否大于两定点之间的距离．
2．判定点的轨迹时，应注意对个别点进行检验，如本例(1)中，因为△ABC三顶点不共线，所以应去掉直线AB与椭圆的两个交点．
3．当条件中同时出现椭圆的两个焦点及椭圆上一点时，可考虑应用椭圆的定义进行求解．
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．
必要不充分 [根据椭圆的定义，应填必要不充分．]
双曲线的定义及应用
【例2】 已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
(1)|－|＝6；
(2)－＝6.
[思路探究] 把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．
[解] (1)∵|－|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹是双曲线．
(2)∵－表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹是双曲线的右支．
双曲线定义中的关键点
在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的绝对值；③定值且定值小于两定点间距．在这三个条件中，缺少一个条件，其动点轨迹也不是双曲线．
2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________．
双曲线的一支 一条射线 [∵|PA|－|PB|＝6<10时，
∴P的轨迹为双曲线的一支．
又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，
∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．]
抛物线的定义及应用
【例3】 已知动点M(x，y)满足|3x＋4y＋1|＝5，试判断动点M的轨迹．
[思路探究] 把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．
[解] 选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝，MF＝.由题意知d＝MF，且F?l，由抛物线定义知，M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
抛物线定义的应用方法
1．涉及点线距、两点间距离的轨迹问题，要充分联想抛物线的定义，判别动点的轨迹．
2．应用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定点与到定直线的距离是否相等，并且注意定点不在定直线上．
3．若已知某点在抛物线上，则该点到抛物线焦点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．
3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．
抛物线 [由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．]
如何区分椭圆与双曲线
[探究问题]
1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？
[提示] 若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．
2．抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？
[提示] 在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．
【例4】 已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．
[思路探究] 根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．
[解] 由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，
因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1. ①
又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3. ②
②－①得MC2－MC1＝2，且2
所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．
设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式．注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又因为圆C1与圆C2相切于点(－1,0)，所以M的轨迹不过点(－1,0)．
4．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内有一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．
[证明] 设MB＝r.
∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距MA＝10－r，
即MA＋MB＝10(大于AB)，
∴圆心M的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
2．双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
3．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )
(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )
(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )
(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( )
[解析] (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．
(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．
(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．
(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．以F1，F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1，F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C [由椭圆的定义可知P2F1＋P2F2＝10.
又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.]
3．已知M(－2,0)，N(2,0)，PM－PN＝3，则动点P的轨迹为________．
双曲线的右支 [∵MN＝4，PM－PN＝3<4，
∴动点P的轨迹为双曲线的右支．]
4．动点P(x，y)的坐标满足－＝4，试确定点P的轨迹．
[解] 的几何意义是点P到定点A(5,0)的距离，的几何意义是点P到定点B(－5，0)的距离，因此原式可化为PA－PB＝4＜AB＝10，故点P的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．
课件38张PPT。第2章 圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线234两条相交直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 5距离的和 两个定 焦点 距离焦距 ＞ 6距离的差的绝对值 焦点 两焦点 焦距 F不在l上相等 定点F 焦点 定直线l 准线 ＜ PF＝d 78910111213椭圆的定义及应用 14151617双曲线的定义及应用 18192021抛物线的定义及应用 222324如何区分椭圆与双曲线 25262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．抛物线上一点P到焦点的距离与到准线的距离之和为8，则P到准线的距离为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
B [由抛物线的定义可知点P到焦点与准线的距离相等，又因为二者之和为8，故P到准线的距离为4.]
2．下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆；
B．已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；
C．到点F1(－6,0)，F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；
D．到点F1(－6,0)，F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．
C [根据椭圆的定义PF1＋PF2>F1F2可知选C.]
3．已知A(1,0)，B(3,0)，动点P满足|PA－PB|＝a，且点P的轨迹是双曲线，则实数a的取值范围是( )
A．(0,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2,4)
A [因为AB＝2，且点P的轨迹是双曲线，则|PA－PB|＝a＜2，即0＜a＜2.]
4．已知双曲线的焦点为F1，F2，双曲线上一点P满足|PF1－PF2|＝2.若点M也在双曲线上，且MF1＝4，则MF2＝( )
A．2 B．4
C．6 D．2或6
D [由双曲线的定义可知，|MF1－MF2|＝2.又MF1＝4，所以|4－MF2|＝2，解得MF2＝2或6.]
5．已知点A(－1,0)，B(1,0)．曲线C上任意一点P满足2－2＝4(||－
||)≠0.则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
A [由条件可化简为PA＋PB＝4，因为4>2＝AB，所以曲线C是椭圆．]
二、填空题
6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)
抛物线 [由题意知P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．]
7．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1－MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．
必要不充分 [根据双曲线的定义，乙?甲，但甲 乙，只有当0<2a<|F1F2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．]
8．△ABC的顶点A(0，－4)，B(0,4)，且4(sin B－sin A)＝3sin C，则顶点C的轨迹是________．
以A，B为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3) [运用正弦定理，将4(sin B－sin A)＝3sin C转化为边的关系，即4＝3×，则AC－BC＝AB＝6三、解答题
9．已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹．
[解] 方程可变形为＝1，
∵表示点M到点(1,1)的距离，
表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离．
又由＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．
由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．
10．一炮弹在某处爆炸，在F1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5 000,0)处晚 s，已知坐标轴的单位长度为1 m，声速为340 m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？
[解] 由声速为340 m/s，可知F1，F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6 000(m)，且小于F1F2＝10 000(m)，
因此爆炸点在以F1，F2为焦点的双曲线上，
又因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的双曲线一支上．
[能力提升练]
1．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点
C [由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB.]
2．已知椭圆上一点P到两焦点F1，F2的距离之和为20，则PF1·PF2的最大值为( )
A．10 B．20
C．50 D．100
D [由条件知PF1＋PF2＝20，∴PF1·PF2≤2＝2＝100.当且仅当PF1＝PF2时取得等号．]
3．已知点P(x，y)的坐标满足－＝±4，则动点P的轨迹是________．
双曲线 [方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<，∴点P的轨迹是双曲线．]
4．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．
以F，O为焦点的椭圆 [连接FP(图略)，∵M，F关于直线CD对称，
∴PF＝PM，∴PF＋PO＝OP＋PM＝OM(定值)．
∵OM>OF，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆．]
5．在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．
(1)顶点A的轨迹是什么？
(2)指出轨迹的焦点和焦距．
[解] (1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.
又因为BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，
所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．
(2)椭圆的焦点为B，C，焦距为10.
