2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆的标准方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解椭圆标准方程的推导．(难点)
2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点、易混点)
3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆.
1.通过椭圆标准方程的推导，培养数学运算素养．
2.借助定义法求方程，提升直观想象素养.
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1
(a＞b＞0)
＋＝1
(a＞b＞0)
图象
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为
( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
A [由题意知c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.]
2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
C [由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，
∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.]
3．设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为( )
A．9 B．13
C．15 D．18
D [由题意得△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋8＝18.]
4．椭圆＋＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于2，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
2 [由椭圆的方程可知a2＝4，所以a＝2.由椭圆的定义可得点P到另一个焦点的距离等于2a－2＝4－2＝2.]
求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴a＝2，b＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)法一：①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为a＞b＞0，所以无解．
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0，2)和B，求椭圆的标准方程．
[解] 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，将A，B两点坐标代入方程得解得
∴所求椭圆方程为x2＋＝1.
椭圆中的焦点三角形问题
【例2】 (1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．
(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
[思路探究] (1)→→
(2)→→→
(1)120° (2) [(1)由＋＝1，知a＝3，b＝，
∴c＝.
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.②
由①②联立可得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝××2×＝.]
1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．
2．(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是_________．
8－4 [由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.]
(2)设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠PF1F2＝90°，则△F1PF2的面积是________．
[由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝，
因此S△PF1F2＝·|F1F2|·|PF1|＝.
故所求△PF1F2的面积为.]
与椭圆有关的轨迹问题
[探究问题]
1.如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．
提示：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.
所求点Q的轨迹方程为＋＝1.
2.如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？为什么？
提示：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)．
(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
所求点M的轨迹方程为＋y2＝1.
【例3】 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点；O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．
(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
[思路探究] (1)点Q为OP的中点?点Q与点P的坐标关系?代入法求解．
(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．
x2＋＝1. [(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，即x2＋＝1.]
(2)由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，R1＝1；Q2(3,0)，R2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．由题设有
|MQ1|＝1＋R，
|MQ2|＝9－R，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法．例(2)所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
3．(1)已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
[解] 设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，
得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是
2＋4y2＝1.
(2)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
[解] 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
所以曲线E的方程为＋＝1.
1．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．
2．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称．( )
(2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( )
(3)方程＋＝1(m＞0，n＞0)是椭圆的方程．( )
(4)椭圆＋＝1的焦点在x轴上．( )
(5)设椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，则PF1＋PF2＝2.( )
(6)椭圆＋＝1的焦点坐标是(±2,0)．( )
[解析] (1)(2)明显正确；
(3)＋＝1中，当m＝n>0时方程表示圆，故错误；
(4)方程y2的分母大于x2的分母，故椭圆的焦点在y轴上，故错误；
(5)方程＋y2＝1中，a＝2，所以PF1＋PF2＝4.所以错误；
(6)因为a2－b2＝12－8＝4，所以c＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知，解得k＝2.]
3．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
48 [由题意知
①2－②得2|PF1||PF2|＝96.
所以|PF1||PF2|＝48.]
4．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
[解] 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．
∵F1A⊥F2A，
∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，
＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
课件49张PPT。第2章 圆锥曲线与方程2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆的标准方程2345(0，－c)，(0，c) 67891011求椭圆的标准方程 12131415161718椭圆中的焦点三角形问题 19202122232425与椭圆有关的轨迹问题2627282930313233343536373839404142434445464748点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
C [c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.]
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A．x2＋＝1
B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1
D．以上都不对
A [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.]
3．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
B [由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．直线
B [|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a>|F1O|，因此点P的轨迹是椭圆．]
5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是
( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
D [由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.]
二、填空题
6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．
＋＝1 [由题意知，解得则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.]
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
3 [依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.]
8．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
(x＋1)2＋y2＝16 [如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.]
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
[解] 因为|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，
所以|PO1|＋|PA|＝4，
又因为|O1A|＝2<4，
所以点P的轨迹是以A，O1为焦点的椭圆，所以c＝，a＝2，b＝1.
所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
[能力提升练]
1．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
C [设M(x0，y0)，由F1(－，0)，F2(，0)得＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
由·＝0得x＋y＝3，
又＋y＝1，解得y0＝±.
即点M到x轴的距离为，故选C.]
2.如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．
＋＝1 [设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，
解得b2＝2，则a＝2b＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.]
3．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．
[易知k>0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝.]
4.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.
2 [设正三角形POF2的边长为c，则c2＝，
解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，
连接PF1(略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2
则|PF1|＝＝＝2，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2，即a＝＋1，
所以b2＝a2－c2＝(＋1)2－4＝2.]
5.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图所示)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程．
[解] 由题意可得S△F1F2A＝2S△F1F2B，
∴|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|
＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos，
所以m＝.
在△F1F2A中，
同理可得m＝，
所以＝，解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
