1.3.2 极大值与极小值
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会求函数的极大值与极小值．(重点)
2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点)
3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)
1.通过极大(小)值的学习，培养数学抽象素养．
2．通过求函数的极值及应用，培养数学运算、直观想象素养.
1．函数极大(小)值的概念
设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；
设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．
函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
思考1：极大值一定比极小值大吗？
[提示] 不一定，函数的极大值、极小值是一个局部概念，由图象易知函数的极大值也可能比极小值小．
2．函数的极值与导数的关系
(1)极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)>0
f′(x)＝0
f′(x)<0
f(x)
增
极大值f(x1)
减
(2)极小值与导数之间的关系
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)<0
f′(x)＝0
f′(x)>0
f(x)
减
极小值f(x2)
增
思考2：导数为0的点一定是极值点吗？
[提示] 不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
1．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则( )
A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
A [由f′(x)的图象可知，在x＝x2附近当x
0，函数单调递增，当x>x2时，f′(x)<0，函数单调递减，故点x2是函数的极大值点，同理x3是函数的极小值点，x1，x4不是极值点．]
2．函数f(x)＝－的极值点为( )
A．0 B．－1
C．0或1 D．1
D [∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f′(x)＞0，
0＜x＜1时f′(x)＜0，
∴1是f(x)的极小值点．
又x＜0时f′(x)＜0，
故x＝0不是函数的极值点．]
3．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
C [由y′＝3x2－6x－9＝0，
得x＝－1或x＝3，
当－20；
当－1故当x＝－1时，y极大值＝5；
x取不到3，无极小值．]
4．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则a＝________，b＝________.
－3 －24 [由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b两零点为－2,4，
∴∴]
求函数的极值
【例1】 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x2－2x－1；
(2)f(x)＝－x3＋－6；
(3)f(x)＝|x|.
[解] (1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.
因为当x<1时，f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
所以函数在x＝1处有极小值，
且y极小值＝－2.
(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
无极值
单调递增
所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6.
(3)f(x)＝|x|＝
显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，
当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
故当x＝0时，函数取得极小值，
且y极小值＝0.
1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．
点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
①f′(x0)＝0；
②点x0两侧f′(x)的符号不同．
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．
1．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．
1 [∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.]
利用函数的极值求参数
【例2】 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
[思路探究] (1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.
(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解．
[解] (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．
∴∴a＝－，b＝－2.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，
由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1.
∴f(x)＝x3－x2－2x＋1.
∴f′(x)＝3x2－x－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
单调递减
－
单调递增
∴f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，递减区间为.
当x＝－时，f(x)有极大值为f＝；
当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－.
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
[解] f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，
如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
极值的综合应用
[探究问题]
1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．
提示：f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f(x)的递减区间是(－2,3)．
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)．
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有几解？
提示：方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；
(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；
(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．
【例3】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路探究] 求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
[解] 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－21．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解] 由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
2．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
[解] 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2.
利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
1．极值是一个局部概念，因此极大值与极小值没有必然的大小关系．
2．求导数极值仍然遵循定义域优先的原则．
3．因为f′(x0)＝0是函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，所以在由极值求参数时要注意检验，以免产生增根．
4．利用极值研究函数零点问题要注意数形结合思想的应用.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( )
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )
(3)函数f(x)＝有极值．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)为增函数
B．在(3,4)上函数f(x)为减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
D [由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f′(x)＜0，
当4＜x＜5时，f′(x)＞0，
∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]
3．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
D [由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当02时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．]
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]
5．求函数y＝x4－4x3＋5的极值．
[解] y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,3)
3
(3，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
单调递减
5
单调递减
－22
单调递增
故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.
课件48张PPT。第1章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 极大值与极小值234都要大 都要小 极值 56> ＝ < 7< ＝ > 89101112131415求函数的极值 16171819202122利用函数的极值求参数 2324252627282930极值的综合应用 3132333435363738394041424344454647点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]
2．函数f(x)＝1＋3x－x3( )
A．有极小值，无极大值
B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值
D．有极小值，有极大值
D [∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.
当x∈(－1,1)时f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；
同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.]
3．函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝( )
A．9 B．11
C．12 D．15
B [f′(x)＝3x2＋6mx＋n，
则
代入解得或
当m＝1，n＝3时，
f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
函数f(x)无极值，舍去．
故m＝2，n＝9，故m＋n＝11.]
4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
B [∵三次函数过原点，故可设为
y＝x3＋bx2＋cx，
∴y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1,3是y′＝0的两个根，
∴，即
∴y＝x3－6x2＋9x，
又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
∴当x＝1时，f(x)极大值＝4，
当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B.]
5．已知f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)，则f(x)的极值情况是( )
A．极大值为f，极小值为f(1)
B．极大值为f(1)，极小值为f
C．极大值为f，没有极小值
D．极小值为f(1)，没有极大值
A [由函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)得：p＋q＝1,2p＋q＝3，
解得p＝2，q＝－1，
则函数f(x)＝x3－2x2＋x，
则f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0得到：x＝1或x＝.
当x≥1或x≤时，函数单调递增；当二、填空题
6．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
2 [由题意得，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．]
7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
－19 [y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
x，y′，y之间的关系如下表
x
(－∞，0)
0
(0,4)
4
(4，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
极小值
极大值
由表可知y极大值＝f(4)＝32＋m＝13，
∴m＝－19.]
8．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
[1,5) [由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，则f′(－1)·f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
[解] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
(2)由(1)知f(x)＝－6x3＋9x2.
所以f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，f′(x)<0；当00；
当x>1时，f′(x)<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
[解] 因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．不存在
A [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f(x)在x＝1处取得极大值10，
∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，
∴a2＋8a＋12＝0，∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.
当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．
当＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值，与题意不符．
当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)；
当x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，
∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．
∴＝－＝－.]
2．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
A. B. C. D.
C [函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.]
3．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＋b＝________.
－ [f′(x)＝＋2bx＋3＝(x>0)，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，
即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，
∴由根与系数的关系知
解得
故a＋b＝－.]
4．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－2ax.
已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，其等价于ln x＋1－2ax＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝2ax－1的图象有两个交点．
以下研究临界状态：①如图．
当函数h(x)＝ln x与函数g(x)＝2ax－1的图象相切时，设切点为A(m，ln m)，其中m>0，则函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率k＝，
∴2a＝.
又∵直线g(x)＝2ax－1过点(0，－1)，
∴k＝，
∴＝.
解得m＝1，∴当两线相切时，a＝.
②当a＝0时，h(x)与g(x)的图象只有一个交点．
∴所求a的取值范围是.]
5．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
[解] (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x(x>0)，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
