1.3.3 最大值与最小值
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)
2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)
3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)
1.通过函数最大、最小值的学习，培养数学抽象、直观想象素养．
2．借助函数最大、最小值的求解，提升数学运算素养.
1．函数的最大值与最小值．
(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．
函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一．
2．利用导数求函数的最值
求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
思考：(1)函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？
(2)函数在区间[a，b]上的最值一定在端点处取得吗？
[提示] (1)不一定．函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即最大值；同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值．
(2)不一定．还与函数在区间上的单调性、极值有关．
1．函数f(x)＝－4x＋4在[0,3]上的最小值为( )
A．1 B．4
C．5 D．－
D [f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，
解得x＝±2，因为x∈[0,3]，故x＝2，
当0
f′(x)>0，故当x＝2时，函数取极小值，也是最小值，
f(x)最小值＝f(2)＝－8＋4＝－.]
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
A [f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]
3．函数f(x)＝在[0,2]上的最大值为________．
[∵f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0，得x＝1∈[0,2]．
∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝.
∴f(x)最大值＝f(1)＝.]
4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
1 [f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.]
求函数在给定区间上的最值
【例1】 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3－x2－2x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0,1]．
[解] (1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－2
－
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1
7
从上表可知，函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.
(2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0,1]时，f′(x)<0恒成立，
即f(x)在[0,1]上是减函数．
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝－e；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
求函数最值的四个步骤
(1)求函数的定义域；
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；
(4)求极值、端点值，确定最值．
1．(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72 B．36
C．12 D．0
(2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
(1)D (2)B [(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3在[－2,3]上取得最小值0，故选D.
(2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.]
由函数的最值确定参数的值
【例2】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[思路探究] 首先求出f′(x)，然后讨论a的正负，根据函数f(x)的单调性得出用a，b表示的函数的最值，从而列出关于a，b的方程组，求a，b.
[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
b
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．
2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．
2．设[解] f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a
＋b
b
－＋b
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，
当x＝a时，f(x)取得极小值－＋b，
而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，
故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
又因为f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b
＝－a，
所以－a＝－，
所以a＝.
故所求函数的解析式是f(x)＝x3－x2＋1.
与最值有关的综合问题
[探究问题]
1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？
提示：c≤f(x)min或c≥f(x)max.
2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？
提示：c≤f(x)max或c≥f(x)min.
【例3】 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[思路探究] (1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零，即可求得m的取值范围．
[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
极大值1－m
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．
1．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？
[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
0
(0,1)
1
(1,2)
2
g′(t)
＋
0
－
g(t)
－1－m
极大值1－m
－3－m
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，
存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴－3－m<0，∴m>－3，
∴实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．
[解] ∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)，
∴h′(t)＝－3t2＋1，
由h′(t)＝0得t＝或t＝－(舍去)，
又当0＜t＜时，h′(t)＞0，
当＜t＜2时，h′(t)＜0.
∴当t＝时，h(t)max＝－＋－1＝.
令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)，∴φ(t)min＞m－4.
由题意可知≤m－4，
即m≥＋3＝.
∴实数m的取值范围为.
1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．
2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略
(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立?a(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立?k＜[f(x)－g(x)]最小值；
(3)f(x)＞g(x)恒成立?f(x)最小值＞g(x)最大值；
(4)a＞f(x)能成立?a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立?a＜f(x)最大值．
1．函数的最值是一个全局概念，而函数极值是一个局部概念．
2．函数的最值只能在区间端点或极值点处取得，因此求闭区间上的最值时，只需求出极值与端点值比较即可．
3．对于含参数的最值问题，注意分类讨论解决．
4．解决恒成立、能成立问题，注意分离参数法的应用及数形结合思想的应用.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12，－8 B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
A [y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；
x＝1时，y＝－8.所以ymax＝12，ymin＝－8.]
3．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．
[令f′(x)＝3x2－x－2＝0，得x＝1或x＝－.
∵f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，
∴m＜.]
4．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
[解] (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
课件44张PPT。第1章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 最大值与最小值234≤ ≥ 惟一 5极值 极值 f(a) f(b) 678910111213求函数在给定区间上的最值 141516171819由函数的最值确定参数的值 2021222324252627与最值有关的综合问题 28293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)＝在x∈[2,4]上的最小值为( )
A．0 B. C. D.
C [∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在[2,4]上是减少的，故当x＝4时，函数f(x)的最小值为.故选C.]
2．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是( )
A．－ B．－ C．－4 D．－1
A [因为f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3；
当0当10，f(x)为增函数．所以f(x)在x＝1处取极小值，也是最小值，所以f(x)min＝f(1)＝＋1－3－4＝－.]
3．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为( )
A．4e－1 B．1
C．e2 D．3e2
C [∵f′(x)＝(x2＋2x)ex＋1＝x(x＋2)ex＋1，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
又当x∈[－2,1]时，ex＋1＞0，
∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0；
当0＜x＜1时，f′(x)＞0.
∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增．
又f(－2)＝4e－1，f(1)＝e2，
∴f(x)的最大值为e2.]
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16 B．12
C．32 D．6
C [∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
可知M－m＝24－(－8)＝32.]
5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1 B．0C．－1B [∵f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴0二、填空题
6．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为__________．
[f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立，即f(x)在[1,3]上为增函数，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.
故函数f(x)的值域为.]
7．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
－1 [f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．当－0，f(x)单调递增．当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)最大值＝f(1)＝＝，a＝－1.]
8．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
[e，＋∞) [由＋2ln x≥2恒成立，得a≥2x2(1－ln x)恒成立．
令h(x)＝2x2(1－ln x)，则h′(x)＝2x(1－2ln x)
∵x>0，∴当00；当x>时，h′(x)<0.
∴h(x)最大值＝h()＝e.∴a≥e.即实数a的取值范围是[e，＋∞)．]
三、解答题
9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] 易知f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝
＝.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0，
从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln 2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝<0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥2 019对于?x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
由f′(x)<0，得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.
因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，
故当－2≤x≤2时，f(x)最小值＝－5＋a.
要使f(x)≥2 019对于?x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)最小值＝－5＋a≥2 019，解得a≥2 024.
[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
A [对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9，
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]
2．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，) B．(－1,4)
C．(－1,2] D．(－1,2)
C [由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－2
2
由此得a2－12＜－1＜a，
解得－1＜a＜.
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－1＜a≤2.]
3．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)，则实数a的取值范围是________．
[f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，也是最小值，即最小值为f(－1)＝－.函数g(x)的最大值为a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即a≥－.]
4．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
(－∞，2ln 2－2] [函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．]
5．设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
[解] 令g(x)＝f(x)－ax，
由g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以当a≤2时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax，
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为
x1＝ln<0，
x2＝ln>0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数，所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(－∞，2].
