1.4 导数在实际生活中的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能应用导数解决实际问题．(重点)
2．审清题意，正确建立函数关系式．(难点)
3．忽视变量的实际意义，忽略函数定义域．(易错点)
1.通过分析实际生活问题，建立数学模型，培养数学建模素养．
2．通过利用导数解决问题，提升数学运算素养.
1．导数的实际应用
导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．
2．用导数解决实际生活问题的基本思路
思考：解决生活中优化问题应注意什么？
[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．
1．已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
( )
A．7万件 B．9万件
C．11万件 D．13万件
B [设y＝f(x)，
即f(x)＝－x3＋81x－234.
故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，
解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；
当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减．
因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
2．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为________m.
4 [设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，
因此h＝＝4(m)．]
3．某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
115 [利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6 000，
S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．]
面积、体积的最值问题
【例1】 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
[解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)(0V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
1．解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．解决导数在实际应用时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
1．将一张2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)x取何值时，水箱的容积最大．
[解] (1)由水箱的高为x m，
得水箱底面的宽为(2－2x) m，长为＝(3－x) m.
故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，
解得x＝(舍去)或x＝.
因为y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x的值为时，水箱的容积最大．
用料最省、成本(费用)最低问题
【例2】 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．
[思路探究] 可设CD＝x，则CE＝3－x，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
[解] 设CD＝x km，则CE＝(3－x)km.
则所需电线总长
l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)，
从而l′＝－.
令l′＝0，即－＝0，
解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．
因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，
所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2 km处时，所需电线总长最短．
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解] (1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80.
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且
Q最小值＝Q(80)＝(元)．
利润最大、效率最高问题
[探究问题]
1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？
提示：(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[思路探究] (1)根据x＝5时，y＝11求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值42
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
3．某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大．(≈2.65)
[解] (1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，
又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
∴y＝
(2)由题意：
f(x)＝y(x－1)
＝
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，
f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴由f′(x)<0，得＜x＜3，f′(x)>0，得1∴f(x)在，(3,4)上递增，在上递减，
∵f＝＋450＜f(4)＝1 800，
∴当x＝4时f(x)有最大值，f(4)＝1 800.
当4＜x≤12时，
f(x)＝(x－1)＝2 900－100x＋≤2 900－400≈1 840，
当且仅当100x＝，即x＝2≈5.3时取等号，
∴x＝5.3时f(x)有最大值1 840，
∵1 800＜1 840，∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，使店铺所获利润最大．
1．在解决实际问题的数学建模过程中，一定要认真读题、审题，分析各个量之间的关系，恰当设出变量．
2．在解决问题的过程中一定要注意自变量的实际意义及范围.
1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30 B．40
C．50 D．60
B [V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当402．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A． cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
D [设一段长为x，则另一段长为12－x(02×＋×2×＝，
所以S′(x)＝.
令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)<0；当x∈(6,12)时，S′(x)>0.
所以当x＝6时，S(x)最小．
所以S(x)min＝S(6)＝2 cm2.]
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
6 [设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．]
4．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[解] (1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，
由题意知24＝k·22，得k＝6.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,30)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
故x＝12时，f(x)取得极大值，因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，f(0)＜f(12)，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
课件50张PPT。第1章 导数及其应用1.4 导数在实际生活中的应用234用料最省 利润最大 效率最高 最值 56789101112面积、体积的最值问题 131415161718192021用料最省、成本(费用)最低问题 22232425262728利润最大、效率最高问题 293031323334353637383940414243444546474849点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋t表示，则第3 s时电流强度为( )
A．10 C/s B．11 C/s
C．12 C/s D．13 C/s
D [∵q′＝4t＋1，∴q′|t＝3＝13，即第3 s时的电流强度为13 C/s.]
2．人在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度
( )
A．越来越慢 B．越来越快
C．先慢后快 D．先快后慢
A [∵气球半径与体积的关系式为r(V)＝，
r′(V)＝··，
随着V的增加，r′(V)越来越小．]
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16 B．30,15 C．40,20 D．36,18
A [要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．]
4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为
( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
D [设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取最大值．]
5．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．12 cm
C [设容器的高为x cm，
容器的体积为V(x)cm3，
则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x
＝4x3－276x2＋4 320x(0因为V′(x)＝12x2－552x＋4 320，
由12x2－552x＋4 320＝0，得x＝10或x＝36(舍)，
因为当00，当10V′(x)<0，
所以当x＝10时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值，
所以容器高x＝10 cm时，容器体积V(x)最大．]
二、填空题
6．甲乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v3元．为使全程运输成本最小，汽车应以__________速度行驶．
80 km/h [设全程运输成本为y元，由题意，得
y＝
＝240，v>0，
y′＝240.
令y′＝0，得v＝80.
当v>80时，y′>0；
当0所以v＝80时，y最小值＝720.]
7．某人拉动一物体前行，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示________．
t＝t0时的功率 [因为功率是功关于时间的导数，故W′(t0)表示t＝t0时的功率．]
8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.
20 [设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．
因为6＝k×103，
所以k＝，
所以Q＝x3.
所以行驶每千米的费用总和为
y＝·＝x2＋(x>0)．
所以y′＝x－.
令y′＝0，解得x＝20.
因为当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减；
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
所以当x＝20时，y取得最小值，
即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．]
三、解答题
9．如图，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
[解] 设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(8－2x) cm，宽为(5－2x) cm，
V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)，
V极大值＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大．
10．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0[解] 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝×＝
x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，
所以它是最小值．
所以汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
[能力提升练]
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.]
2．将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是( )
A. B.
C. D.
A [设剪成的小正三角形的边长为x，
则S＝
＝·(0S(x)＝·，
S′(x)＝·
＝·，
由S′(x)＝0,0当x∈时，S′(x)<0，S(x)单调递减；当x∈时，S′(x)>0，S(x)单调递增；
故当x＝时，S的最小值是.]
3．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为________海里/时．
35 [设轮船行驶速度为x海里/时，运输成本为y元．依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，x∈(0，35]．
则y′＝300－，x∈(0,35]．
又当0＜x≤35时，y′<0，
所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．]
4．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．
[设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x＝时，f(x)取最大值.]
5．如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
[解] 设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
