2．1 合情推理与演绎推理(略)
2．2 直接证明与间接证明(略)
2．3 数学归纳法(不作高考要求)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点)
2．数学归纳法证明几何命题．(难点)
3．归纳递推的论证．(易错点)
1.通过学习数学归纳法原理，提升数学抽象素养．
2．通过利用数学归纳法证明，提升数学运算、逻辑推理素养.
数学归纳法公理
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法公理：如果
(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．
那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
1．下面四个判断中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k
C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
C [A中，n＝1时，式子＝1＋k；
B中，n＝1时，式子＝1；
C中，n＝1时，式子＝1＋＋；
D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.]
2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立．
[答案] 2
3．已知Sn＝＋＋＋…＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.
[分别将1,2,3,4代入得S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，观察猜想得Sn＝.]
用数学归纳法证明等式
【例1】 (1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________．(填序号)
①1；
②1＋2；
③1＋2＋3；
④1＋2＋3＋4.
(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3 …×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________．
(1)④ (2)2(2k＋1) [(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选④.
(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．]
数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．
(3)利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
1．求证：1－ ＋ － ＋… ＋ － ＝ ＋ ＋… ＋ (n∈N*)．
[证明] ①当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝，所以等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时， 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立．
那么当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
所以n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．
用数学归纳法证明不等式
【例2】 (1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．
(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．
[思路探究] (1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．
(1) [当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.]
(2)[证明] ①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立．
2．试用数学归纳法证明例2(1)中的不等式．
[证明] ①当n＝2时，＋＝>.
②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立，
即＋＋…＋>，
那么当n＝k＋1时，
＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－
＝＋＋－>＋＋－＝＋－
＝＋>.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．
归纳—猜想—证明
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
[思路探究] (1)令n＝2,3可分别求a2，a3.
(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明．
[解] (1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜得：
an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak
＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝
＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任何n∈N*都成立．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
3．已知函数y＝f(n)(n∈N*)，设f(1)＝2，且对任意的n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．
[解] (1)因为f(1)＝2，
f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，
所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.
(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N*)．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想正确，即f(k)＝2k，
那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，所以，当n＝k＋1时，猜想正确．
由①②知，对任意的n∈N*，都有f(n)＝2n.
用数学归纳法证明整除性问题
[探究问题]
1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
[提示] 不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.
2．数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？
[提示] 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．
【例4】 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．
[思路探究] 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑．
[证明] ①当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．
由①②知命题对一切n∈N*都成立．
与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来．
4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．
(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6 [由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.]
1．本节课的重点是理解数学归纳法原理，应用数学归纳法证明．
2．难点是证明过程中对数式的整理变形．
3．本节课的易错点是在证明“当n＝k＋1时”，不利用假设直接过渡到结论.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是( )
A．(2k＋1)＋(2k＋2)
B．(2k－1)＋(2k＋1)
C．(2k＋2)＋(2k＋3)
D．(2k＋2)＋(2k＋4)
C [当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C.]
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有________．
[答案] f(2n)＞
4．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
[证明] (1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，
即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)
＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)
＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝.
所以当n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)知，对任意n∈N*等式成立．
课件48张PPT。第2章 推理与证明2.3 数学归纳法(不作高考要求)234正整数 n＝k＋1 567891011用数学归纳法证明等式 12131415161718用数学归纳法证明不等式 192021222324归纳—猜想—证明 2526272829303132用数学归纳法证明整除性问题 333435363738394041424344454647点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
C [由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．]
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
D [结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.]
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
D [当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.]
4．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D [n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.]
5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
B [由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2，故对所有的正偶数都成立．]
二、填空题
6．以下是用数学归纳法证明“n∈N*时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N*不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．
(2) [在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.]
7．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________．
(k＋1)2＋k2 [当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.]
8．在用数学归纳法证明时，用到＋＋…＋，若设f(k)＝＋＋＋…＋(k∈N*)，则f(k＋1)－f(k)＝________.
－ [由题意f(k)＝＋＋…＋，
f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，
则f(k＋1)－f(k)＝＋－
＝－.]
三、解答题
9．用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn＜(n＋1)n.
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk＜(k＋1)k，
那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1＜(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)＜(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边＜右边，
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立．
10．已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝0.试猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
[解] 由an＋1＝，a1＝0，得
a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，
a5＝＝，….
归纳上述结果，可得猜想an＝(n＝1,2,3，…)．
下面用数学归纳法证明这个猜想：
(1)当n＝1时，猜想显然成立．
(2)假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，
那么，当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想an＝对所有正整数都成立，即为数列{an}的通项公式．
[能力提升练]
1．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
C [不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．]
2．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
C [若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．]
3．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋＜n(n＞1，n∈N*)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．
2k [当n＝k＋1时，左边是1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加的是＋＋…＋，共有2k项，故左边应增加的项的项数是2k.]
4．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________．
25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2 [当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.]
5．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明．
[解] (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0?f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明．
当n＝1时，f(1)＝1满足条件．
假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.
