3.1 数系的扩充
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解复数的基本概念、复数的代数表示．(重点)
2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用．(重点、难点)
3．实部、虚部的概念．(易混点)
通过对复数的学习，培养数学抽象素养.
1．复数的相关概念
(1)虚数单位
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
①i2＝－1；
②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
(2)复数、复数集
①形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
②复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
2．复数的分类与复数相等
(1)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数．
(2)复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
[提示]
1．复数i－2的虚部是( )
A．i B．－2
C．1 D．2
C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]
2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1，
∴
∴x＝1，y＝－1.]
3．①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是__________．(填序号)
③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.
2＋i [由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得
故x＋yi＝2＋i.]
复数的相关概念
【例1】 (1)复数z＝4－3i的实部和虚部分别是________和________．
(2)复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时，
①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．
(3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数；②虚数；③纯虚数．
(1)4 －3 [由复数的代数形式及实、虚部的概念知，复数z的实部和虚部分别为4和－3.]
(2)[解] ①当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．
②当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．
③当即m＝2时，z为纯虚数．
(3)[解] ①即m＝2，
∴当m＝2时，复数z是实数．
②当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
③由解得m＝－3，
∴当m＝－3时，复数z是纯虚数．
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
1．下列命题中是假命题的是________．(填序号)
①自然数集是非负整数集
②实数集与复数集的交集为实数集
③实数集与虚数集的交集是{0}
④纯虚数集与实数集的交集为空集
③ [复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题．]
复数的分类及应用
【例2】 (1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是________．
(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．
(1)a>0且a＝±b [要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.]
(2)[解] ①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
2．若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
[解] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，所以a≤0.
复数相等的充要条件
[探究问题]
1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
提示：若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.
【例3】 (1) 若复数z＝(m＋1)＋(m2 －9)i<0，则实数m的值等于________．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
[思路探究] (1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；
(2)根据复数相等的充要条件求解．
(1)－3 [∵z<0，∴∴m＝－3.]
(2)[解] 设a是原方程的实根，
则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且2－＋3m＝0，
所以m＝.
1．(变条件)若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－＋i.
2．(变条件)若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．
[解] 由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝ x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0，
故 解得
所以实数m的取值范围为.
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
1．本节课的重点是理解复数的概念、复数的分类及数集间的关系．
2．本节课的易错点是对两个虚数进行大小比较，只有当两个复数是实数时，才能比较大小.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
B [由题知
解得m＝3.故选B.]
3．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________．
－1 [由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而解得m＝－1.]
4．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠?，求整数a，b.
[解] 依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i， ①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i. ③
由①得a＝－3，b＝±2，
由②得a＝±3，b＝－2.
③中，a，b无整数解不符合题意．
综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，
b＝－2或a＝－3，b＝－2.
课件36张PPT。第3章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充234虚数单位 －1 实数 5复数 实部 虚部 6实数 虚数 a＝0且b≠0 a＝c且b＝d 78910111213复数的相关概念 1415161718复数的分类及应用 1920212223复数相等的充要条件 242526272829303132333435点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B.，5
C．±，5 D．±，1
C [令得a＝±，b＝5.]
2．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则
( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝?
D [复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝?，故选D.]
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
A [3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.]
4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
B [由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]
5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]
二、填空题
6．复数(i为虚数单位)的实部等于________．
－3 [＝＝－3－i，其实部为－3.]
7．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值为________．
－2 [∴x＝－2.]
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
－2 [复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是
解得即m＝－2.
故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．]
三、解答题
9．已知m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，
(1)写出复数z的代数形式；
(2)当m为何值时，z＝0？当m为何值时，z是纯虚数？
[解] (1)复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
即复数z的代数形式为z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(2)若z＝0，则
解得m＝2.
若z为纯虚数，则
解得
即m＝－.
10．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数k的值．
[解] 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由两个复数相等的充要条件得
解得或
∴实数k的值为±2.
[能力提升练]
1．若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7 B．－
C．7 D．－7或－
A [∵复数z是纯虚数，
∴
∴sin θ＝且cos θ≠，
∴cos θ＝－.
∴tan θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.]
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以解得
所以z＝3－i.]
3．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为________．
[由复数相等的充要条件可得
化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ＝42－，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2 θ－3sin θ∈.]
4．若复数z＝＋i(m∈R)是虚数，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞) [∵复数z＝＋i(m∈R)是虚数，
∴
解得m>1或m<0且m≠－2.
故实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞)．]
5．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1[解] 由于z1∴z1∈R且z2∈R，
当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z1
