3.2 复数的四则运算
第1课时 复数的加减与乘法运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握复数代数形式的加减运算．(重点)
2．理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算．(重点、难点)
3．掌握共轭复数的概念及应用．(易错点)
通过复数的加减、乘法运算，提升数学运算、逻辑推理素养.
1．复数的加减法
(1)复数的加法、减法法则
①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)．
②加法法则：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)运算律
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数的乘法与共轭复数
(1)复数的乘法
①复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
②乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(2)共轭复数
①定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi.
②关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数?a＝c且b＝－d.
③当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．
思考：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
[提示] 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝ ( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]
2．复数(3＋2i)i等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
B [(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]
3．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________．
0 [z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0.]
4．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
－1 [(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i.
∵其对应点在实轴上，∴a＋1＝0，即a＝－1.]
复数的加、减法运算
【例1】 (1)＋(2－i)－＝________.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
(1)1＋i [＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.]
(2)[解] 法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋1－3i＝5－2i，
所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，
即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，
所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
1．复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．
1．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________．
1＋i [∵z－(1－i)＝2i，
∴z＝1－i＋2i＝1＋i.]
复数的乘法运算
【例2】 (1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝________.
(2)复数(3＋2i)i＝________.
[思路探究] (1)结合复数相等分别求出a，b的值，然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算．
(2)直接运用分配律进行乘法运算．
(1)3－4i (2)－2＋3i [(1)∵a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝22－2×2×i＋i2＝3－4i.
(2)(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.]
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
2．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.
4＋3i或－4－3i [设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，
z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.
∵z1·z2是纯虚数，
∴解得或
∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]
共轭复数的应用
[探究问题]
1．两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
[提示] 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．
2．若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？
[提示] |z1|＝|z2|.
【例3】 已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
[思路探究] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解．
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
共轭复数的处理技巧
当已知条件出现共轭复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．
3．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数＝1－i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2.
[解] 因为z＝1＋i，＝1－i，
所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
由a，b∈R，及复数相等的充要条件，得
解得或
1．本节课的重点是复数的加、减、乘法运算，乘法运算按多项式乘法展开后，注意i2＝－1.
2．本节课的易错点是共轭复数及其应用，注意z＝bi－a的共轭复数是＝－bi－a，不是＝bi＋a.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )
(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( )
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
D [∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i.]
3．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝______.
4＋2i [∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.]
4．计算：
(1)(1－i)(1＋i)；(2)(2－i)2.
[解] (1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2
＝3－4i.
课件36张PPT。第3章 数系的扩充与复数的引入3.2 复数的四则运算
第1课时 复数的加减与乘法运算234567a－bi a＝c且b＝－d 891011121314复数的加、减法运算 1516171819复数的乘法运算 20212223共轭复数的应用 242526272829303132333435点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 复数的乘方与除法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立．(重点)
2．理解复数商的定义，能够进行复数除法运算．(重点、难点)
3．了解i幂的周期性．(易错点)
通过复数的乘方与除法运算，提升数学运算素养.
1．复数的乘方与in(n∈N*)的周期性
(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质
设对任何z∈C及m，n∈N*，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝znm，(z1z2)n＝zz.
(2)虚数单位in(n∈N*)的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
2．复数的除法
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商，且x＋yi＝＝＋i(c＋di≠0)．
1.＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
D [＝＝－1－i，选D.]
2．复数＋i3＝________.
0 [＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.
∴原式＝i－i＝0.]
3．(2－i)÷i＝________.
－1－2i [(2－i)÷i＝＝＝－1－2i.]
i的运算特征
【例1】 计算下列各式的值．
(1)1＋i＋i2＋…＋i2 014＋i2 015；
(2)2 014＋(1－i)2 014；
(3)i2 006＋(＋i)8－50.
[解] (1)1＋i＋i2＋…＋i2 014＋i2 015＝1＋i＋i2＋i3＝0.
(2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.
∴2 014＋(1－i)2 014
＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007
＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝0.
(3)i2 006＋(＋i)8－50
＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－25
＝i2＋(4i)4－i25
＝－1＋256－i＝255－i.
1．虚数单位i的性质
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
2．复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算．
1．(1)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点为________．
(2)i为虚数单位，复数z＝i2 012＋i2 015在复平面内对应的点位于第________象限．
(1)(0,1) (2)四 [(1)∵i＋i2＋i3＋i4＝0，∴z＝＝＝i，对应的点为(0,1)．
(2)i2 012＝i503×4＝1，i2 015＝i503×4＋3＝－i，∴复数z＝1－i在复平面上对应点为(1，－1)，位于第四象限．]
复数的除法
【例2】 (1)＝________；
(2)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝________；
(3)i为虚数单位，2＝________.
[思路探究] (1)直接利用除法法则计算；(2)转化为复数的除法计算；(3)先计算括号内的，再乘方运算．
(1)－1＋2i (2)3＋4i (3)－1 [(1)＝＝＝－1＋2i.
(2)由(3－4i)z＝25，得z＝＝＝＝3＋4i.
(3)∵＝＝＝－i，
∴2＝(－i)2＝－1.]
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)把除式写为分式．
(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数．
(3)对分子、分母分别进行乘法运算．
(4)把运算结果化为复数的代数形式．
2．解题时注意以下常用结论
(1)＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i.
(2)in，(－i)n的值是以4为周期的一列值．
(3)＝＝＝i.
2．(1)i为虚数单位，复数＝________；
(2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________.
(1)1＋i (2)1＋i [(1)＝＝1＋i.
(2)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i.]
复数四则运算的综合应用
[探究问题]
1．复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？
[提示] 相同，先乘除，后加减．
2．如何理解复数的除法运算法则？
[提示] 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
【例3】 计算：(1)＋(5＋i)2－2；
(2).
[思路探究] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．
[解] (1)＋(5＋i)2－2
＝＋(25＋10i－1)－
＝i＋24＋10i－i
＝24＋10i.
(2)原式＝
＝
＝
＝·(2i)2·i
＝－4i.
1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．
2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用
(1)＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化．
(2)记住一些简单结论，如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等．
3．(1)设i是虚数单位，复数i3＋＝________.
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝________.
(1)1 (2)2＋3i [(1)i3＋＝－i＋＝－i＋i－i2＝1.
(2)∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.]
1．本节课重点是复数的乘方运算及除法运算，复数的除法即分子、分母同乘以分母的共轭复数．
2．在乘方运算中，注意in的周期性，其周期为4.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两复数的商一定是虚数．( )
(2)i2 005＝i.( )
(3)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减．( )
(4)若z∈C，则z2＝2.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．设i是虚数单位，复数的虚部为________．
1 [＝＝3＋i.]
3．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.
4－3i [∵z1＝－2－3i，z2＝，
∴＝
＝
＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.]
4．计算2－20.
[解] 2－20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10
＝1＋2i.
课件34张PPT。第3章 数系的扩充与复数的引入3.2 复数的四则运算
第2课时 复数的乘方与除法2341 i －1 －i 5678910i的运算特征 111213141516复数的除法 1718192021复数四则运算的综合应用 222324252627282930313233点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A． B．－
C．－ D．5
B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，
故有a＋b＝－.]
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
D [由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]
4．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B.
C．3 D.
A [z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]
5．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
A．1 B．2
C. D.
C [由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.]
二、填空题
6．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
－1＋10i [∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，由复数相等定义，得x＝2且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.]
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．
－2 [∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.]
8．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝________.
－i [∵z＝1＋i，∴＝1－i，
∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]
三、解答题
9．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)．
[解] (1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i.
(2)原式＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝－－i＋i－
＝－＋i.
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．
[解] z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得
(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，
∴
解得
则b＋ai＝4－3i，
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
[能力提升练]
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]
2．复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
C [∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i，
∴＝2－3i.故选C.]
3．已知－1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________．
2＋2i [(－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，
∴
∴p＝q＝2.
故z＝p＋qi＝2＋2i.]
4．已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________．
[∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，
∴z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.]
5.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，求z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2.
∴b＝－1.
故z＝1－i.
课时分层作业(十二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．i为虚数单位，2＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
A [2＝＝＝－1.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)＝( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
D [＝＝－＋i，故选D.]
3．i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
A [因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i，所以应选A.]
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
C [(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10
＝0.]
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A. B.
C．1 D．2
A [∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.]
二、填空题
6．复数的共轭复数是________．
－1＋2i [∵＝＝－1－2i.
∴的共轭复数是－1＋2i.]
7．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值是________．
2 [＝＝，由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a＝2.]
8．设i是虚数单位，则等于________．
－1 [∵＝－＝＝－i，
∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.]
三、解答题
9．计算：(1)＋6；
(2)＋2＋.
[解] (1)原式＝＋i66
＝i＋i2＝i－1.
(2)原式＝＋＋
＝i＋＋
＝i＋(－i)＋0＝0.
10．(1)若＝－i，求实数a的值；
(2)若复数z＝，求＋3i.
[解] (1)依题意，得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，
∴a＝－.
(2)∵z＝＝
＝i(1＋i)＝－1＋i，
∴＝－1－i，
∴＋3i＝－1＋2i.
[能力提升练]
1．计算＋的值是( )
A．0 B．1
C．i D．2i
D [原式＝＋
＝＋
＝＋i＝＋i＝＋i
＝2i.]
2．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
D [z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意，得＝－－b，即3a＋5b＝0.]
3．复数z满足(1＋2i)·＝4＋3i，则z＝________.
2＋i [∵＝＝＝＝2－i，
∴复数＝2－i，∴z＝2＋i.]
4．当z＝－，z100＋z50＋1的值等于________．
－i [z2＝2＝－i，
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.]
5．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.故复数z＝1＋i.
