3.3 复数的几何意义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解复数的几何意义，并能简单应用．(重点)
2．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．(易错点)
3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)
通过对复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义的学习，培养直观想象素养.
1．复数的几何意义
(1)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
(2)复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b) 平面向量.
2．复数的模
(1)定义
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|.
(2)公式
|z|＝.
(3)几何意义
复数z对应点Z到原点O的距离．
3．复数加减法的几何意义
(1)如图所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线，以，为两条邻边画?OZ1ZZ2.则向量与复数z1＋z2相对应，向量与复数z1－z2相对应．
(2)|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
[提示] |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
1．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]
2．设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为( )
A.＋ B．5
C．25 D.
B [|z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|
＝|3－4i|＝＝5.]
3．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
－6－8i [因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.]
复数的几何意义
【例1】 (1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限．
(2)设复数z＝(m∈R)在复平面内对应的点为Z.
①若点Z在虚轴上，求m的值；
②若点Z位于第一象限，求m的取值范围．
(1)二 [实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．]
(2)[解] z＝＝＝＋i.
①∵点Z在虚轴上，∴＝0，则m＝－2.
②点Z位于第一象限，则m＋2>0且1－2m>0，
解得－2
故实数m的取值范围是.
复数可由复平面内的点或向量进行表示
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
1．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．
[解] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．
复数加减法的几何意义
【例2】 (1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为________．
(2)若，对应的复数分别是7＋i,3－2i，则||＝________.
[思路探究] 利用复数加减法的几何意义求解．
(1)－2＋10i (2)5 [(1)(1＋4i)＋(－3＋6i)＝－2＋10i.即向量＋对应的复数为－2＋10i.
(2)对应复数为(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i，
∴||＝|－4－3i|＝＝5.]
1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则．
2．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
2．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
[解] 由复数加减法几何意义：
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1，
根据向量的平行四边形法则，得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴AD的长为||＝|z4－z1|
＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
复数的模及其几何意义
[探究问题]
1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？
[提示] 满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？
[提示] ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
3．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
[提示] 复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
【例3】 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B．
C．2 D．
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A [设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.]
(2)如图所示， ||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
1．(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．
[解] 因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解] 因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面内的点P(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面内的向量＝(a，b)．
2．复数加减法的几何意义：实质为向量的加减运算．
3．复数的模是表示复数的向量的长度，复数的模可以比较大小.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
C [法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B.故选C.]
3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
(3，＋∞) [∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.]
4．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
课件38张PPT。第3章 数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义234复平面 实轴 虚轴 567邻边 8910111213复数的几何意义 1415161718复数加减法的几何意义 1920212223复数的模及其几何意义 2425262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵sin 2>0，cos 2<0，
∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.]
2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
D [由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.]
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
B [因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.]
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]
二、填空题
6．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
2＋4i [∵复数6＋5i，－2＋3i对应点分别为A，B，
∴点A(6,5)，B(－2,3)．
∴中点C(2,4)，其对应复数2＋4i.]
7．设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.
[＝－1＋i，则|(1－z)·|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝.]
8．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 [∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．]
三、解答题
9．已知复数z＝1＋ai(a∈R)，w＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z＝＋2i，且|z－w|＝，求角α的值．
[解] 由题意知1＋ai＝1＋(2－a)i，
则a＝2－a，即a＝1，∴z＝1＋i.
由|z－w|＝得(1－cos α)2＋(1－sin α)2＝5，
整理得sin α＋cos α＝－1，∴sin＝－，
∵0<α<2π，∴<α＋<π，
∴α＋＝或α＋＝，∴α＝π或α＝.
10．已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．
[解] (1)由(z－2)i＝a＋i，
得z－2＝＝1－ai，∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3故当a∈(－3,0)时，z2对应的点在第一象限．
[能力提升练]
1．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
A [|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A. ]
2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C. D.
C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]
3．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
4－4i [由＝＋，知
对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i，
又＝－，
∴对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.]
4．在复平面内，复数z＝＋i2 014表示的点所在的象限是________．
第二象限 [z＝＋i2 014＝＋i2＝－＋i，对应点的坐标为，故在第二象限．]
5．已知O为坐标原点，O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若O1与O2共线，求a的值．
[解] 因为O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i，所以O1＝(－3,4)，O2＝(2a,1)．因为O1与O2共线，所以存在实数k使O2＝k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
