第一课 导数及其应用
导数的几何意义及其应用
【例1】 已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求斜率为4的曲线的切线方程．
[解] (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，
∴x＋x－4x＋4＝0.
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)设切点为(x0，y0)，
则切线的斜率k＝x＝4，∴x0＝±2.
∴切点为(2,4)或.
∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先求出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
注意：曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．
1．(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．
(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是________．(填序号)
(1)2 (2)② [(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′＝2.
(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．]
函数的单调性与导数
【例2】 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
[思路探究] 研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a，所以要分类讨论．
[解] (1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0.
故实数a的取值范围是a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，
得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立．
因为－1因为当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，
在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上单调递减，所以a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)内单调递减．
求函数的单调区间的方法步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)<0，得到函数f(x)的递减区间．
注意：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．
2．设函数f(x)＝aln x＋(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝.
因为x1＝＝＞0，
所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，f(x)在，，＋∞上单调递减，在，上单调递增．
函数的极值、最值与导数
【例3】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
[思路探究] (1)由求出a，b即可．
(2)对t分0(3)构造函数g(x)＝f(x)－c转化为g(x)在[1,3]上有实根求解．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0f(x)最大值＝f(0)＝2，f(x)最小值＝f(t)＝t3－3t2＋2.
②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
极小值－2
t3－3t2＋2
f(x)最小值＝f(2)＝－2，f(x)最大值为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)最大值＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则解得－21．求函数的极值的方法
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．
2．求函数的最值的方法
(1)求f(x)在(a, b)内的极值．
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．
3．已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.
(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围；
(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．
[解] (1)f′(x)＝－3x2＋12.
当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2.
当f′(x)＞0时，－2＜x＜2.
当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2.
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增．
∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m.
f(x)极大值＝f(2)＝16＋m.
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32.
(2)由(1)知要使函数y＝f(x)有三个零点，必须即
∴－16＜m＜16.
∴m的取值范围为(－16,16)．
(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．
又f(－1)＝－11＋m，f(3)＝m＋9，
∴f(－1)＜f(3)，
∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m，
∴－11＋m＝－2，∴m＝9.
∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为
f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.
生活中的优化问题
【例4】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，
故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，
故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，
此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
1．优化问题的常见类型
关于生活中的优化问题涉及面极广，常见的有：
(1)几何体的面积、体积问题；
(2)最低成本与最大效益问题；
(3)生产分配与投资理财问题；
(4)下料设计与厂址选点问题．
2．解决优化问题的注意点
(1)利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大(小)值，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在解决优化问题时，将问题中涉及的变量关系用函数关系表示出来的同时，还要确定函数关系中自变量的定义域．
(3)有些优化问题除用导数法求解外，有时还可用配方法、基本不等式法等，解题时要注意方法的灵活选用．
4．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分__________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
10 15 000 [设每次进书x千册(0y′＝－＋20＝，
∴当00.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．]
函数方程思想
【例5】 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的极值点；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，
得x1＝－，x2＝.
当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－，) 时，f′(x)＜0，
因此x1＝－，x2＝分别为f(x)的极大值点、极小值点．
(2)由(1)的分析可知y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点，需5－4＝f()＜a＜f(－)＝5＋4.则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(5－4，5＋4)．
(3)法一：f(x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，
所以所求k的取值范围为(－∞，－3]．
法二：直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f(1)＝0，
曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)＝－3，
由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3]．
讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．
5．已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数．
[解] 函数f(x)的定义域为{x|x≠a}．
(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，
即f(x)在(a，＋∞)上无零点．
(2)当x＜a时，f(x)＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1)．
由g′(x)＝0得x＝a－1.
当x＜a－1时，g′(x)＜0；
当x＞a－1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.
∴当a＝1时，g(a－1)＝0，∴x＝a－1是f(x)的唯一零点；
当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，∴f(x)没有零点；
当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，∴f(x)有两个零点．
课件45张PPT。第1章 导数及其应用阶段复习课
第一课 导数及其应用Thank you for watching !章末综合测评(一)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列求导运算正确的是( )
A．(cos x)′＝sin x B.′＝cos
C.′＝－ D.′＝
D [A中，(cos x)′＝－sin x，B中′＝0，C中′＝－2x－3，D中′＝.]
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B．
C．－ D．－1
A [y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.]
3．如果物体的运动方程为s＝＋2t(t＞1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是( )
A.米/秒 B.米/秒
C.米/秒 D.米/秒
A [∵s＝s(t)＝＋2t，∴s′(t)＝－＋2.
故物体在2秒末的瞬时速度s′(2)＝－＋2＝.]
4．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0 B．2
C．1 D．－1
A [∵f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，
∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，
∴f′(1)＝1－2f′(1)－1，∴f′(1)＝0.]
5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D [f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．]
6．函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为( )
A．[0，e] B．(0，e)
C．[0，e) D．(0，e]
A [f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．∵x∈，f′(x)＞0.
∴f(x)在上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.]
7．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )
D [由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.]
8．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
C [f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.]
9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|＞|x2|，则有( )
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＞0，b＜0
B [∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋1有两个零点x1，x2，且|x1|＞|x2|，
由图可知x1＋x2＝－＜0，且x1是极小值点，∴a＜0，b＜0.]
10．函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．[0，＋∞) D．(2，＋∞)
B [函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝＋a，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－，因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．]
11．已知函数f(x)＝x2＋2x＋aln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a<－4
C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4
C [因为f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋2x)，012．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
A [当x＞0时，令F(x)＝，则F′(x)＝＜0，
∴当x＞0时，
F(x)＝为减函数．
∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.
在区间(0,1)上，F(x)＞0；在(1，＋∞)上，F(x)＜0.
即当0＜x＜1时，f(x)＞0；
当x＞1时，f(x)＜0.
又f(x)为奇函数，
∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)＞0；
当x∈(－1,0)时，f(x)＜0.
综上可知，f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
－3 [y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，得
y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.]
14．f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a＝________.
6 [f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
令f′(x)＝0，
则x＝0或x＝1.
∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，
∴f(x)极大值＝f(0)＝a，∴a＝6.]
15．函数y＝ln x＋x2的图象与函数y＝3x－b的图象有3个不同的交点，则实数b的取值范围是________．
[函数y＝ln x＋x2的图象与函数y＝3x－b的图象有3个不同的交点，等价于ln x＋x2＝3x－b有3个不同的解，等价于b＝3x－ln x－x2有3个不同的解，
对f(x)＝3x－ln x－x2求导，得f′(x)＝3－－2x，易知函数在，(1，＋∞)上递减，在上递增，所以只要满足f16．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
[－6，－2] [当x＝0时，3≥0恒成立，a∈R.
当0设h(x)＝，
则h′(x)＝＝，
∵x∈(0,1]，∴h′(x)>0，h(x)递增，
∴h(x)最大值＝h(1)＝－6，
∴a≥－6.
当－2≤x＜0时，a≤.
易知h(x)＝在[－2，－1)上递减，
在(－1,0)上递增．
∴h(x)最小值＝h(－1)＝－2，
∴a≤－2.
综上，－6≤a≤－2.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．
[解] (1)f′(x)＝2ax－a，
由已知得
解得
∴f(x)＝x2－2x＋.
(2)∵f′(1)＝1，∴f(x)在(1,2)处切线的斜率为1，
故所求切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
[解] (1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，即
解得
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
[解] (1)∵f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
20．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：
(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
[证明] (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋.当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)＞0，g′＜0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当x∈时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(－1，α)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f′(x)在存在唯一极大值点．
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
(ⅰ)当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1,0)单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]的唯一零点．
(ⅱ)当x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)单调递增，在单调递减，而f′(0)＝0，f′＜0，所以存在β∈，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)单调递增，在单调递减．
又f(0)＝0，f＝1－ln＞0，所以当x∈时，f(x)＞0.从而，f(x)在没有零点．
(ⅲ)当x∈时，f′(x)＜0，所以f(x)在单调递减．而f＞0，f(π)＜0，所以f(x)在有唯一零点．
(ⅳ)当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)＞1，所以f(x)＜0，从而f(x)在(π，＋∞)没有零点．
综上，f(x)有且仅有2个零点．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，
故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有
即
化简得
解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c.
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a<0)．
(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)若a＝－且关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝－(x>0)，
依题意f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即ax2＋2x－1≤0在(0，＋∞)上恒成立．
则a≤在(0，＋∞)上恒成立，
即a≤min，x>0，
当x＝1时，2－1取最小值－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．
(2)a＝－，f(x)＝－x＋b，
所以x2－x＋ln x－b＝0，
设g(x)＝x2－x＋ln x－b(x>0)，则g′(x)＝，列表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,4)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
－b－
ln 2－b－2
所以g(x)极小值＝g(2)＝ln 2－b－2，
g(x)极大值＝g(1)＝－b－，
又g(4)＝2ln 2－b－2，
因为方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，则得ln 2－2
