一、导数及其应用
1．导数的概念
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δx→0时，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．
2．几个常用函数的导数
(1)若y＝f(x)＝c，则f′(x)＝0.
(2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1.
(3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x.
(4)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝－.
(5)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝.
3．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝C(C为常数)，则f′(x)＝0.
(2)若f(x)＝xα(α为常数)，则f′(x)＝αxα－1.
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos_x.
(4)若f(x)＝cos x ，则f′(x)＝－sin_x.
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a.
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.
(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝.
(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝.
5．复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．
(3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.
6．函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a时，f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
7．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值．
二、数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念及分类
(1)代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b；
(2)共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)．
(3)复数的分类
①若 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z与的关系为z＝.
②若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z与的关系为z＋＝0(z≠0)．
2．与复数运算有关的问题
(1)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?(a，b，c，d∈R)．
(2)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.
(3)复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)
①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；
②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；
④除法：＝＝＋i(z2≠0)．
3．复数的几何意义
(1)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.
(2)复数加法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量1，2不共线，则复数z1＋z2是以
1，2为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(3)复数减法的几何意义
复数z1－z2是连接向量1，2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．
1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上单调递增．(×)
2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(×)
3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(√)
4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则在区间[a，b]上恒有f′(x)>0.(×)
5．“函数f(x)在区间[a，b]上的导数f′(x)>0”是“函数f(x)在区间[a，b]上单调递增”的充分不必要条件．(√)
6．曲线的切线与曲线的交点有且只有一个．(×)
7．函数的极大值一定大于极小值．(×)
8．可导函数极值点x0处，一定有f′(x0)＝0，但f′(x0)＝0时，x0不一定是函数的极值点．(√)
9．在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(√)
10．函数的最大值一定是函数的极大值．(×)
11．函数在闭区间上的最值一定在端点处或极值点处取得．(√)
12．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(×)
13．复平面内，y轴上的点对应的数一定为纯虚数．(×)
14．复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.(√)
15．复平面内，互为共轭复数的两个数所对应的点关于原点对称．(×)
16．若z1＝2i，z2＝－i，则z1>z2.(×)
17．复平面内，一个复数对应一个点，同时也对应一个向量，三者之间满足一一对应关系．(√)
18．复数与复数相加减后结果只能是实数．(×)
19．虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(×)
20．两个复数的积一定是虚数．(×)
1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B．
C．1 D．
C [因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
D [i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.]
3．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
D [(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
C [A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．
C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选C.]
5．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
B [(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.
故选B.]
6．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．
故选C.]
7．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D [因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]
8．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
[法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，
∴|z|＝＝.
法二：|z|＝|1＋i||1＋2i|
＝×＝.]
9．(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
2 [复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i, 实部是2.]
10．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为________．
y＝2x－2 [由题意知，y′＝，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.]
11．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
x－y＋1＝0 [∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1，
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，
∴切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.]
12．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当0当x>2时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当01时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
课件33张PPT。模块复习课斜率 0 1 2x 0 cos x －sin x f′(x)＞0 f′(x)＜0 f′(x)＞0f′(x)＜0 f′(x)＜0f′(x)＞0 极值 端点处的函数值 a b a－bi(a，b∈R) a＝c，b＝d Z(a，b) × × √ × √ × × √ √ × √ × × √ × × √ × × × Thank you for watching !模块综合测评(一)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
B [z＝a＋i的虚部为1，
故a＝1，选B.]
2．已知复数z＝，则·i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [∵z＝＝，
∴＝＋i，
∴·i＝－＋i.]
3．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线的斜率为8，则a＝( )
A．9 B．6
C．－9 D．－6
D [y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线的斜率k＝－4－2a＝8，解得a＝－6.]
4．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
B [由题意知∴m＝0.]
5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
B [∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1.]
6．若曲线f(x)＝aex＋在(1，f(1))处的切线方程为y＝2e(x＋1)，则ab＝( )
A．1 B．3
C．e D．3e
D [因为f′(x)＝aex－，
所以f′(1)＝ae－b＝2e，ae＋b＝4e，
所以a＝3，b＝e，ab＝3e.]
7．函数f(x)＝(x－3)ex的递增区间为( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D [由f(x)＝(x－3)·ex，
得f′(x)＝ex＋(x－3)·ex＝(x－2)·ex，
由f′(x)>0得x>2，
故f(x)的递增区间为(2，＋∞)．]
8．函数y＝在[0,2]上的最大值是( )
A. B.
C．0 D.
A [因为f(x)＝，
所以f′(x)＝，
所以当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以f(x)max＝f(1)＝.]
9．设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为( )
C [根据题意得g(x)＝cos x，∴y＝x2g(x)＝x2cos x为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.]
10．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是( )
A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)>f(1)
C．f(－1)B [因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1)．]
11．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
B [由2xln x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．]
12．已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则当a＞0时，f(a)和eaf(0)的大小关系为( )
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)＝eaf(0) D．f(a)≤eaf(0)
B [令g(x)＝e－xf(x)，则g′(x)＝e－x[f′(x)－f(x)]>0.
所以g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，g(a)>g(0)．e－af(a)>e0f(0)，即f(a)>eaf(0)，故选B.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则|a＋bi|＝________.
[由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋bi＝1＋2i.
∴|a＋bi|＝＝.]
14．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．
3 [由题意知m2＋2m－15＝0，解之得m＝3或m＝－5.当m＝－5时，无意义，所以m＝3.]
15．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为__________．
(－∞，－3)∪(6，＋∞) [f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，由f(x)既有极大值，也有极小值，知f′(x)＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得m>6或m<－3.]
16．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是__________．
{x|x>2} [设g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，x∈(0，＋∞)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x＋1)(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以g(x＋1)>g(x2－1)，
所以x＋1解得x>2.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：(1)；
(2).
[解] (1)＝＝－1－3i.
(2)＝
＝＝＝＝＋i.
18．(本小题满分12分)复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若
1＋z2是实数，求实数a的值．
[解] 1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.
∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞， －1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1, ＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3
＝3(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
20．(本小题满分12分)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R，若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围．
[解] (1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，
所以－1而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，
f(x)＝x4是偶函数，
所以f(x)＝x4.
(2)由(1)知g(x)＝x4＋ax3＋x2－b，
则g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．
为使g(x)仅在x＝0处有极值，
必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，
即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2]．
这时，g(0)＝－b是唯一极值，所以a∈[－2,2]．
21．(本小题满分12分)预计某地区明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f(x)(万件)近似满足：f(x)＝x(x＋1)(35－2x)(x∈N*且x≤12)．
(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过192万件；
(2)如果将该商品每月都投放到该地区p万件(不包含积压商品)，要保证每月都满足供应，p应至少为多少万件？(积压商品转入下月继续销售)
[解] (1)x＝1时，g(1)＝f(1)＝66(万件)，
当x≥2时，g(x)＝f(x)－f(x－1)
＝x(x＋1)(35－2x)－(x－1)x(37－2x)
＝－6x2＋72x，
所以g(x)＝－6(x2－12x)(x∈N*且x≤12)．
x＝1也满足．
由g(x)>192，即－6(x2－12x)>192，
化简得x2－12x＋32<0，
解得4又x∈N*，所以x＝5,6,7.
综上，g(x)＝－6x2＋72x(x∈N*且x≤12)，第5,6,7月份的需求量超过192万件．
(2)保证每月都满足供应，则p≥对于x∈N*，x≤12恒成立，
＝(x＋1)(35－2x)＝－2x2＋33x＋35，
所以x＝8时，取最大值171，
所以p≥171.
答：每月至少应投放171万件．
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
[解] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，
从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
所以当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为
g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.
模块综合测评(二)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2018·浙江高考)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
B [＝＝1＋i，∴共轭复数为1－i，故选B.]
2．已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝( )
A．－5 B．－1
C．－ D．－
D [z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，∴－＝，
解得a＝－.故选D.]
3．若复数z＝在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
A [由题可知z＝·＝＝＋i，
所以即
所以－1＜m＜1，故选A.]
4．若(1－mi)(m＋i)＜0，其中i为虚数单位，则m的值为( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
A [因为(1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i＜0，所以解得m＝－1，故选A.]
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－， )
B [由题知，f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤.]
6．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )
A．0C．b>0 D．b<
A [f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则即解得07．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若存在x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是( )
A．2≤a≤ B．－≤a≤
C．2≤a≤16 D．－≤a≤16
D [∵f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，
可化为x－x＋6x0＝a，
设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.
∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.
由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，
∴－≤a≤16.]
8．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
A [由题意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0.]
9．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是( )
A．1 B．2k＋1
C．2k－1 D．2k
D [∵f(k)＝1＋＋＋…＋，
又f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．]
10．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N＋)的前n项和是( )
A. B.
C. D.
A [∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，
∴f(x)＝x2＋x，∴＝＝＝－，∴数列(n∈N＋)的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.故选A.]
11．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )
A．3 B．4
C．6 D．5
A [设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．
由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.
∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小．故选A.]
12．已知函数f(x)＝x3－ln(－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则的值为( )
A．恒正 B．恒等于0
C．恒负 D．不确定
A [可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(－x)＋(－x)3－ln(＋x)＝0，
所以函数为奇函数，同时，
f′(x)＝3x2＋>0，f(x)是递增函数，＝，所以>0，所以选A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．复数(i为虚数单位)的实部等于________．
－3 [∵＝－3－i，∴其实部为－3.]
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
[＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.]
15．函数f(x)＝ln x(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，则a等于________．
ln 2－1 [f′(x)＝(ln x)′＝(x>0)，
又y＝ln x的图象与直线y＝x＋a相切，
∴＝，∴x＝2，
因此，切点P(2，ln 2)在直线y＝x＋a上，
∴ln 2＝1＋a，∴a＝ln 2－1.]
16．设方程x3－3x＝k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是________．
(－2,2) [设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，
又f(x)的图像与x轴有三个交点，
故
∴－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
[解] z＝＝＝
＝＝＝1－i.
因为z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b
＝－2i＋a－ai＋b＝(a＋b)－(2＋a)i＝1＋i，
所以解得
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
[解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，
又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或1，
∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
19．(本小题满分12分)函数f(x)＝xex－ln x－ax.
(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2(e－1)(x－1)平行，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝(x＋1)ex－－a(x＞0)，
f′(1)＝2e－1－a＝2(e－1)，所以a＝1.
(2)由函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
可得f′(x)＝(x＋1)ex－－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≤(x＋1)ex－在[1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝(x＋1)ex－，
则g′(x)＝(x＋2)ex＋＞0，
所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝2e－1，
所以a≤2e－1.
即a的取值范围为(－∞，2e－1]．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
[解] (1)当x＜1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
故当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.
(2)①当－1≤x＜1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和上单调递减，在上单调递增．
因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，
当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在[1，e]上单调递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.
故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a＜2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
[解] (1)由S1＝a1＝，得a＝1，
因为an>0，所以a1＝1.
由S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1，
由S3＝a1＋a2＋a3＝，
得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N＋)．
证明：①当n＝1时，
a1＝－＝1，命题成立；
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－，
即ak＋1＝－
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0.
所以ak＋1＝－，
则n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，an＝－，n∈N＋.
22．(本小题满分12分)已知f(x)＝ln x－x＋a＋1.
(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：当x＞1时，在(1)的条件下，x2＋ax－a＞xln x＋成立．
[解] f(x)＝ln x－x＋a＋1(x＞0)．
(1)原题即为存在x∈(0，＋∞)，使得ln x－x＋a＋1≥0，
所以a≥－ln x＋x－1，令g(x)＝－ln x＋x－1，
则g′(x)＝－＋1＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
因为当0＜x＜1时，g′(x)＜0，所以g(x)为减函数，
当x＞1时，g′(x)＞0，所以g(x)为增函数，
所以g(x)min＝g(1)＝0.所以a≥g(1)＝0.
所以a的取值范围为[0，＋∞)．
(2)证明：原不等式可化为x2＋ax－xln x－a－＞0(x＞1，a≥0)．
令G(x)＝x2＋ax－xln x－a－，则G(1)＝0.
由(1)可知x－ln x－1＞0，则G′(x)＝x＋a－ln x－1≥x－ln x－1＞0，
所以G(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞1时，G(x)＞G(1)＝0.
所以当x＞1时，x2＋ax－xln x－a－＞0成立，
即当x＞1时，x2＋ax－a＞xln x＋成立．
