第二课 数系的扩充与复数的引入
复数的概念
【例1】 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数．
[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
处理复数概念问题的两个注意点
(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．
(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．
1．(1)复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为________．
(2)设z＝＋i，则|z|＝________.
(1)2－i (2) [(1)∵(－i)i＝i＋1，∴|(－i)i|＝|i＋1|＝2，
∴z＝2＋i5＝2＋i，∴复数z的共轭复数为2－i.
(2)z＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝＝.]
复数的四则运算
【例2】 (1)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi的模是________．
(2)已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为________．
[思路探究] (1)先利用复数相等求x，y，再求模；
(2)先求，进而求z，再计算.
(1)5 (2)＋i [(1)法一：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法二：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法三：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以(－i)i(x＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i，即x＋yi＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
(2)因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.]
(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似．
(2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.
(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．
2．(1)复数＝________.
(2)2 019＝________.
(1)－2i (2)－i [(1)＝＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)2 019＝i2 019＝i3＝－i.]
复数的几何意义
【例3】 已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，()2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；
(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m－z|＝1，求|m|的最值．
[思路探究] (1)设出z，列方程求解；(2)计算出()2，z－z2，求出对应点B，C，在坐标系中确定三角形，进而求面积；(3)求出复数m在复平面内对应点的轨迹，利用数形结合法求|m|的最值．
[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a2－b2)＋2abi，
∴∴
或
∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，()2＝－2i，z－z2＝1－i，则A(1,1)，B(0，－2)，C(1，－1)．
∴S△ABC＝·2·1＝1.
当z＝－1－i时，()2＝－2i，z－z2＝－1－3i，
则A(－1，－1)，B(0，－2)，C(－1，－3)，
∴S△ABC＝·2·1＝1.
(3)由题知，z＝1＋i，对应点(1,1)在第一象限，|z|＝，又|m－z|＝|m－(1＋i)|＝1，
则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆，
所以，|m|最小值＝－1，|m|最大值＝＋1.
复数可由复平面内的点或向量进行表示
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
3．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是________．
(－1,3) [z＝＝(1＋2i)(1＋i)＝－1＋3i，所以z在复平面内对应点的坐标是(－1,3)．]
转化与化归思想
【例4】 设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
[思路探究] 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1.
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数，
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
[解] 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.
由已知，得因为y≠0，
所以
解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
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