1.1 导数的概念
1.1.1 平均变化率
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率．(重点)
2．了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义．(难点)
3．平均变化率的正负．(易混点)
1.通过具体的平均变化率问题，培养数学建模素养．
2．借助平均变化率的求解，提升数学运算素养.
1．函数平均变化率
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
2．平均变化率的意义
平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率可正、可负、可为零．
1．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
D [Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
B [＝＝＝＝4.1，故选B.]
3．函数y＝2x＋2在[1,2]上的平均变化率是________．
2 [＝2.]
4．如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是__________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
③ [在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故①②错误；
在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.
因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，
所以>，故③正确，④错误．]
求函数的平均变化率
【例1】 (1)函数f(x)＝在[2,6]上的平均变化率为________．
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
(1)－ [＝＝－.]
(2)[解] 自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量x2－x1；
第二步，求函数值的增量f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
－1 [kAB＝＝＝－1，
由平均变化率的意义知y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为－1.]
实际问题中的平均变化率
【例2】 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
[思路探究] (1)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[0,0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[1,2]上的平均变化率．
[解] (1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为＝4.05(m/s)．
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2 (m/s)．
实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似，首先求f(x2)－f(x1)，再求比值，当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可．
2．一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________．
(0,1] [质点在2到2＋Δt之间的平均速度为＝＝＝4＋Δt，
又≤5，则4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0,1]．]
平均变化率的应用
[探究问题]
1．函数y＝f(x)由x1变化到x2时的平均变化率是什么？
[提示] .
2．平均变化率的大小说明什么意义？
[提示] 平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化的越快，若平均变化率为负，则表示函数值在减小，若平均变化率为正，表示函数值在增加．
【例3】 为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能．
[解] 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2)，
乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．
平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
3．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
[解] (1)∵V＝πr3，∴r3＝，r＝，
即r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为
＝－≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢．
1．平均变化率对函数而言，即是函数值的改变量与自变量的改变量的比值．即＝.
2．平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)所在直线的斜率．
3．平均变化率的意义：平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢．平均变化率的正负只表示变化的方向.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx可以为零．( )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．( )
(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
D [＝＝4＋2Δx.]
3．质点运动规律s＝2t2＋5，则在时间(2,2＋Δt)中，相应的平均速度等于________．
8＋2Δt [s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt)2＋8Δt.
∴＝＝8＋2Δt.]
4．已知函数y＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率.
[解] Δy＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
当x1＝4，Δx＝1时，
Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，
所以＝＝21.
课件33张PPT。第1章 导数及其应用1.1 导数的概念
1.1.1 平均变化率234数量化 视觉化 56789101112求函数的平均变化率 13141516实际问题中的平均变化率 17181920平均变化率的应用 212223242526272829303132点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
B [Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.]
2．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
C [∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
∴＝＝2＋Δx，故选C.]
3．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度为( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
A [＝＝
＝＝6＋Δt.]
4．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
B [由题图可知乙的斜率比甲的斜率小，但乙的斜率绝对值大，即变化快．]
5．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．6
B [由已知，得＝26，
∴(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，
解得m＝1.]
二、填空题
6．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋t3，则该物体在时间间隔内的平均加速度为________．
[平均加速度＝＝.]
7．设某产品的总成本函数为C(x)＝1 100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
[C(1 000)－C(900)＝，
则＝＝.]
8．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
3>2>1 [∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA∴3>2>1.]
三、解答题
9．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
[解] 依题意，生产并售出x台所获得的利润是
L(x)＝r(x)－c(x)＝3x2－3x(元)，
∴x取值从10台至20台的平均利润为
＝
＝87(元)，
故所求平均利润为87元．
10．2018年冬至2019年春，某国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：
(1)2018年11月至2018年12月间，小麦受旱面积变化大吗？
(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？
(3)从2018年11月到2019年2月，与从2019年1月到2019年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？
[解] (1)在2018年11月至2018年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．
(2)由图形知，在2019年1月至2019年2月间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增幅最大．
(3)在2018年11月至2019年2月间，平均变化率为，
在2019年1月至2019年2月间，平均变化率为＝sB－sC，
显然kBC>kAB，即sB－sC>，
∴在2019年1月至2019年2月间，小麦受旱面积增幅较大．
[能力提升练]
1．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A．k1k2
C．k1＝k2 D．不确定
D [因为k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，故k1，k2的大小不确定．]
2．已知A，B两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速度为30 km/h，B车向东行驶，速度为40 km/h，那么A，B两车间直线距离增加的速度为( )
A．30 km/h B．40 km/h
C．50 km/h D．60 km/h
C [设经过t h两车间的距离为s km，
则s＝＝50t(km)，
增加的速度为＝50 (km/h)．]
3．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，直线AB的斜率为________．
－ [∵Δx＝1,2＋Δx＝3，
∴f(2＋Δx)－f(2)＝－
＝－＝－.
kAB＝＝－.]
4．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
[x3，x4] [由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．]
5．巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
[解] 山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为
hBC＝＝＝，
∵hBC>hAB，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多．
