1.1.2 瞬时变化率——导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)
2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)
3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)
1.通过导数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助导数的几何意义，提升数学运算素养.
1．曲线上一点处的切线
如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
2．瞬时速度与瞬时加速度
(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
3．导数
(1)函数在一点处的导数及其几何意义
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(3)导函数
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
1．如果质点A的运动方程为y＝3t2，则它在t＝1时的瞬时速度为( )
A．6t B．3
C．6＋Δt D．6
D [＝＝6＋3Δt.
当Δt→0时，在t＝1时的瞬时速度为6.故选D.]
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
B [由导数的几何意义知B正确．]
3．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．
2 [Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx，
∴＝2，∴f′(2)＝2.]
4．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.
－1 [由导数的几何意义，f′(4)＝－2.
又f(4)＝－2×4＋9＝1，
故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.]
求瞬时速度、瞬时加速度
【例1】 (1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．
[思路探究] 先求出，再求瞬时速度．
(1)v0－gt0 (2)6 [(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
∴当Δt→0时，→v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13
＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2
＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2
＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，
∴＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6，
∴当Δt→0时，→6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.]
求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
[解] (1)＝
＝＝3－Δt，当Δt→0时，3－Δt→3，
即物体的初速度为3 m/s.
(2)＝
＝
＝＝－Δt－1，
当Δt→0时，－Δt－1→－1，
即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．
(3)＝＝＝1，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
求函数在某点处的导数
【例2】 求函数y＝在x＝2处的导数．
[思路探究] →→
[解] 令f(x)＝，
则Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，
∴＝，当Δx→0时，→－1，
∴函数y＝在x＝2处的导数为－1.
由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)Δx→0，得导数f′(x0)．
2．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
当Δx→0时，1＋→2，
∴函数在x＝1处的导数等于2.
导数的几何意义及其应用
[探究问题]
1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
[提示] 根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示] 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？
[提示] 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．
联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．
【例3】 已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
[思路探究] (1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．
[解] (1)＝
＝，当Δx→0时，→－.
设过点A(1,0)的切线的切点为P，
则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1,0)，P在切线上，
所以＝－，
解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
1．求曲线过已知点的切线方程的步骤
2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．
3．已知抛物线y＝2x2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为________．
4x－y－2＝0 [因为＝＝＝4＋2Δx，当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以f′(1)＝4.
所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.]
1．瞬时速度、瞬时加速度即为当Δt→0时的的极限值．
2．导数的几何意义：曲线上某点的导数即为该点处切线的斜率．
3．在求切线方程时，要注意“过点”与“在点”的区别，求切线方程的关键是求切点坐标.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( )
(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
(4)函数f(x)＝0没有导函数．( )
[解析] (1)正确．
(2)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)＝x，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f′(x)＝，其定义域为(0，＋∞)．
(3)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．
(4)错．函数f(x)＝0为常数函数，其导数f′(x)＝0，并不是没有导数．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
C [∵＝＝5＋Δt，
当Δt→0时，5＋Δt→5，
∴物体在3 s末的瞬时速度为5 m/s.]
3．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
x＋2y＋4＝0 [＝
＝＝，
当Δx→0时，→－.
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]
4．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
[解] 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx→0时，2a＋Δx→2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所以所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)，即y＝(2＋2)x－2－2或y＝(2－2)x－2＋2.
课件40张PPT。第1章 导数及其应用1.1 导数的概念
1.1.2 瞬时变化率——导数割线 逼近 无限逼近 逼近 曲线在点P处的切线 趋近 瞬时速度 趋近 无限趋近 常数 可导 常数 导数 斜率 函数值 求瞬时速度、瞬时加速度 求函数在某点处的导数 导数的几何意义及其应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于的值，以下说法中正确的是( )
①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；
③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．
A．① B．②
C．③ D．④
B [导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．]
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，＝－3Δt－6.当Δt→0时，→－6.]
3．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
C [＝
＝＝Δx－3，
当Δx→0时，→－3.]
4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于( )
A．1 B．
C．3 D．0
C [由导数的几何意义得k＝f′(1)＝，
f(1)＝×1＋2＝.
所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.]
5．设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数，若f(2)＝2，且f′(0)＝－4，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A．y＝－2x＋2 B．y＝－4x＋2
C．y＝4x＋2 D．y＝－x＋2
B [因为函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数，所以f(0)＝f(2)＝2，f′(0)＝－4，所以切点坐标为(0,2)，切线斜率为－4，可得切线方程为y＝－4x＋2.]
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．(用“<”连接)
f′(A)7．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
2 [物体的速度为
v＝＝
＝
＝＝2－6t－3Δt，
当Δt→0时，→2－6t，
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.]
8．抛物线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程为________．
x－y－1＝0 [＝＝1＋Δx.
当Δx→0时，→1，即f′(2)＝1，
由导数的几何意义知，点Q处切线斜率k＝f′(2)＝1.
∴切线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]
三、解答题
9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值．
[解] 因为点(1，－1)在切线y＝k(x＋2)上，所以k＝－.
＝
＝a(Δx)2＋3aΔx＋3a－b，
当Δx→0时，→3a－b，
即f′(1)＝3a－b，所以3a－b＝－.①
又由f(1)＝－1，得a－b＝－1.②
由①②得，a＝，b＝.
10．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝＝3Δt－18，
当Δt→0时，→－18，
∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝＝3Δt－12，
当Δt→0时，→－12，
∴物体在t＝1处的瞬时速度为－12 m/s.
[能力提升练]
1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．3
C [∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
当Δx→0时，→3x.
由f′(x0)＝3，得3x＝3，
∴x0＝±1.]
2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于
( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
C [依导数定义可求得，y′＝3x2＋a，
则
解得
所以2a＋b＝1，选C.]
3．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，下列命题正确的是________．(填序号)
①为从时间t到t＋Δt时物体的平均速度；
②为在t时刻物体的瞬时速度；
③为当时间为Δt时物体的速度；
④为在时间t＋Δt时物体的瞬时速度．
② [由瞬时速度的定义知，当Δt→0时，为在t时刻物体的瞬时速度．]
4．设P为曲线y＝f(x)＝x2＋2x＋3上的一点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是________．
[设P(x0，y0)，＝
＝2x0＋2＋Δx.
当Δx→0时，→2x0＋2，即在点P处切线的斜率k＝2x0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1.所以－1≤x0≤－.]
5．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
求：(1)曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
[解] 将P(2，－1)代入y＝，
得t＝1，∴y＝，设f(x)＝，
＝
＝
＝，
∴当Δx→0时，→.
∴f′(x)＝.
(1)由导数的几何意义，知
曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.
曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.
