1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想．(难点)
2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数．(重点)
3．掌握函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝logax(a>0，a≠1)的求导公式．(易混点)
1.通过几个常见函数的导数，提升逻辑推理素养．
2．通过对求导公式的应用，提升数学运算素养.
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为常数)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
思考：(1)任何函数都有导函数吗？
(2)函数f(x)＝a2的导函数是f′(x)＝2a吗？
[提示] (1)不是，例如函数y＝2x，x∈{1,2,3,4}没有导函数．
(2)不是，因为函数f(x)＝a2是常数函数，所以其导函数为f′(x)＝0.
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若y＝x，则y′＝x
D [由导数的公式可知，y＝x的导数为y′＝x.]
2．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( )
A． B．10
C．10ln 10 D．
C [∵f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.]
3．已知f(x)＝ln x，则f′(e)的值为________．
[f′(x)＝，∴f′(e)＝.]
4．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
x＋y－6＝0 [∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.]
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
[思路探究] 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x.
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别．
1．下列结论，
①(sin x)′＝cos x；②′＝x；
③ (log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C [①(sin x)′＝cos x，正确；
②′＝x，错误；
③(log3x)′＝，错误；
④(ln x)′＝，正确；
所以①④正确，故选C.]
利用公式求函数在某点处的导数
【例2】 质点的运动方程是s＝sin t，
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
[思路探究] (1)先求s′(t)，再求s′.
(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．
[解] (1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos ＝.
即质点在t＝时的速度为.
(2)∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos x在处的导数．
[解] (1)∵f′(x)＝′＝(x)′＝－x＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin x，
∴f′＝－sin ＝－.
导数公式的应用
[探究问题]
1．f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导数有何规律？
[提示] ∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝′
＝x，
∴(xα)′＝α·xα－1.
2．点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[提示] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得，最小距离为.
【例3】 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[思路探究] 求出直线PQ的斜率即为所求切线的斜率，设出切点后求导数，导数值等于斜率值．
[解] 因为y′＝(x2)′＝2x，
设切点为M(x0，y0)，
又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.所以切点为M.
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
1．(变换条件)是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．
[解] 假设存在与直线PQ垂直的切线，
因为PQ的斜率为k＝＝1，
所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1.
设切点为(x1，y1)，由于y′＝2x，
所以2x1＝－1，则x1＝－，y1＝，
切线方程为y－＝－，
即4x＋4y＋1＝0.
2．(改变问法)已知条件不变，求P点处的切线方程，Q点处的切线方程．
[解] 由题意得曲线在x＝－1处的切线斜率为－2，
则在P点处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
曲线在Q点处的切线斜率k＝4，
Q点处切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
求曲线方程或切线方程时，应注意：
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
1．熟记基本初等函数的求导公式，注意f(x)＝ax与f(x)＝ex及f(x)＝log2x与f(x)＝ln x之间求导公式的区别与联系．
2．利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数的导数还是同底数的指数函数．( )
(2)′＝cos ＝.( )
(3)若f(x)＝x5，则f′(x)＝5x4.( )
(4)若f(x)＝4x，则f′(x)＝x·4x－1.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若y＝cos ，则y′＝( )
A．－ B．－
C．0 D．
C [y＝cos ＝－，∴y′＝0.选C.]
3．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.
[设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，
∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，
∴ln x0＝，∴x0＝e，∴k＝.]
4．求曲线y＝2x2－1的斜率为4的切线的方程．
[解] 设切点为P(x0，y0)，y′＝4x，
由题意知，当x＝x0时，y′＝4x0＝4，所以x0＝1.
当x0＝1时，y0＝1，∴切点P的坐标为(1,1)．
故所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
课件37张PPT。第1章 导数及其应用1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数利用导数公式求函数的导数 利用公式求函数在某点处的导数 导数公式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos x，则y′＝sin x
B．若y＝sin x，则y′＝－cos x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
C [∵(cos x)′＝－sin x，∴A不正确；
∵(sin x)′＝cos x，∴B不正确；
∵()′＝，∴D不正确．]
2．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝( )
A．2 B．ln 3
C． D．－ln 3
C [f′(x)＝axln a，由f′(1)＝aln a＝ln 27，
解得a＝3，则f′(x)＝3xln 3，
故f′(－1)＝.]
3．已知f(x)＝x2·，则f′(2)＝( )
A．4 B．0
C． D．5
D [原函数化简得f(x)＝x，
所以f′(x)＝x，
所以f′(2)＝×2＝5.]
4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
C [因为y＝ln x的导数y′＝，
所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.]
5．若f(x)＝sin x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )
A. B.
C.π D.π
A [∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x.
又∵f′(α)＝cos α＝，
∴α＝2kπ±(k∈Z)．
当k＝0时，α＝.]
二、填空题
6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.
－4 [∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，
又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，
由g′(2)＝，得m＝－4.]
7．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
3 [依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.]
8．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________.
－ [∵f′(x)＝f′cos x－sin x，
∴f′＝f′cos －sin ＝－1，
∴f′(x)＝－cos x－sin x，
∴f′＝－cos －sin ＝－.]
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝sin；
[解] (1)
(2)∵y＝sin ＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
(3)∵y＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
10．求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
[证明] 由xy＝1，得y＝，从而y′＝－.
在双曲线xy＝1上任取一点P，
则在点P处的切线斜率k＝－.
切线方程为y－＝－(x－x0)，
即y＝－x＋.
设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，
则A(2x0,0)，B，
故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2.
所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
[能力提升练]
1．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 019(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
D [f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，所以4为最小正周期，故f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x．]
2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A． B．3e2
C．6e2 D．9e2
A [因为y′＝ex，所以切线的斜率为k＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1，故围成的三角形的面积为S＝×1×|－e2|＝.]
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1 [f′(x)＝2x，g′(x)＝，由f′(x)－g′(x)＝1，得2x－＝1，解之得x1＝－，x2＝1.∵x>0，∴x＝1.]
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
－2 [∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则xn＝.故an＝lg＝lg n－lg (n＋1)．所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.]
5．已知曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
[解] 因为y′＝－x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为：y－a＝－a(x－a)，由x＝0得y＝a，由y＝0得x＝3a，所以·a·3a＝18，解得a＝64.
