1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.2.3 简单复合函数的导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点)
2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点)
3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)
通过导数的运算及应用，提升数学运算素养.
1．导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
积的导数
[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
2．复合函数的导数
复合函数
的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数
复合函数
的求导法则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a
1．函数f(x)＝sin x＋x的导数是( )
A．f′(x)＝cos x＋1
B．f′(x)＝cos x－1
C．f′(x)＝－cos x＋1
D．f′(x)＝－cos x＋x
A [f′(x)＝cos x＋1.选A.]
2．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
B [y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.]
3．函数y＝的导数是__________ .
y′＝ [y′＝′
＝
＝＝.]
4．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝____________.
1 [f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2x＋a)，
∴f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.]
利用导数的运算法则求导数
【例1】 (1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
(2)求下列函数的导数：
①f(x)＝(x＋2)(x－3)；②f(x)＝lg x－3x；
③f(x)＝＋；④f(x)＝.
(1)－ [f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋.∴f′(e)＝－.]
(2)[解] ①∵f(x)＝x2－x－6，
∴f′(x)＝(x2－x－6)′＝2x－1.
②f′(x)＝(lg x)′－(3x)′＝－3xln 3.
③∵f(x)＝＝，
∴f′(x)＝′＝＝.
④∵f(x)＝＝1－，
∴f′(x)＝1′－′
＝－＝.
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而出错．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
1．求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin cos.
[解] (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x.
求简单复合函数的导数
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
[思路探究] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看做函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看做函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看做函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看做函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
2．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x2－1)．
[解] (1)y＝
＝
＝＝1＋.
设y＝1＋，u＝1－x，
则y′＝yu′·ux′＝(1＋)′·(1－x)′
＝·(－1)
＝－.
(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，
则y′＝y′u·ux′＝·4x＝.
导数法则的综合应用
[探究问题]
试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？
[提示] 函数y＝(3x＋2)2可看做函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′＝6u＝6(3x＋2)．
【例3】 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．
[思路探究] 求出导数f′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．
[解] 因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
若将本例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围．
[解] 由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝相交，
∴圆心到直线l的距离小于半径，
即d＝<，解得a>.
关于复合函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．
1．正确运用四则运算求导法则是求导的关键，注意[f(x)·g(x)]′与′这两个法则的区别．
2．在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导．
3．对于求复合函数的导数，要正确区分基本函数.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )
(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( )
[解析] (1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋C.
(2)由y＝2sin x－cos x，
则y′＝(2sin x)′－(cos x)′＝2cos x＋sin x.
(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，
所以f′(x)＝2x＋3.
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )
A．0 B．－4
C．－2 D．2
B [f′(x)＝2x＋2f′(1)．∴f′(1)＝2＋2f′(1)．
即f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2(－2)＝－4.]
3．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
2 [令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝(eax)·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.]
4．求下列函数的导数．
(1)y＝cos(x＋3)；
(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.
[解] (1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(x＋3)′
＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．
(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.
课件38张PPT。第1章 导数及其应用1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.2.3 简单复合函数的导数2345基本初等函数 67891011利用导数的运算法则求导数 121314151617求简单复合函数的导数 18192021222324导数法则的综合应用 25262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[答案] A
2．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A.
B.
C.
D.
A [f′(x)＝＝.]
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D．
B [∵y＝xln(2x＋5)，
∴y′＝ln(2x＋5)＋.]
4．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A．(ex－e－x) B．(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
A [y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．]
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]
二、填空题
6．函数f(x)＝cos，则f′(3π)＝________.
[因为f′(x)＝－sin·′
＝－sin，
所以f′(3π)＝－sin＝－sin ＝.]
7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．
y＝2x [∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.]
8．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________.
2sin 2x [∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，
∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′
＝2sin 2x.]
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝esin x；
(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．
[解] (1)设y＝，u＝1－2x2，
则y′＝()′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2) (－4x)＝.
(2)设y＝eu，u＝sin x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos x＝esin xcos x.
(3)设y＝sin u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝yu′·ux′＝＝.
10．求曲线y＝2sin2x在点P处的切线方程．
[解] 因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sin x×(sin x)′
＝2×2sin x×cos x＝2sin 2x，
所以y′|x＝＝2sin＝.
所以过点P的切线方程为y－＝，
即x－y＋－＝0.
[能力提升练]
1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D.1
A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝
－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D [因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈.]
3．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
[与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.]
4．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
y＝－2x－1 [设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.]
5．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．
[解] (1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1， ①
f′(x0)＝1－＝k， ②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.
