1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 单调性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.利用导数研究函数的单调性．(重点)
2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)
3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)
1.通过对导数与函数单调性关系的学习，培养数学抽象，直观想象素养．
2．通过利用导数证明单调性、求单调区间等，培养数学运算素养.
1．函数的单调性与其导数的关系
(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
f(x)为该区间上的增函数
f′(x)<0
f(x)为该区间上的减函数
(2)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在这个区间内是常数函数．
2．导数与函数图象间的关系
(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．
(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．
思考：利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？
[提示] 函数的定义域．函数的单调区间是函数定义域的子集．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D [f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)·(ex)′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0可得x>2，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．选D.]
2．设f(x)＝x＋(x<0)，则f(x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，－2) B．(－2,0)
C．(－∞，－) D．(－，0)
D [f′(x)＝－，令f′(x)<0可得，－∴－选D.]
3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．
(0，＋∞) [∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex－1.
由f′(x)＞0得，ex－1＞0，
即x＞0.
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
4．函数y＝ax3－1在(－∞，＋∞)内是减函数，则a的取值范围为__________．
(－∞，0) [因为y′＝3ax2≤0恒成立，解得a≤0.
而a＝0时y＝－1不是减函数，所以a<0.]
判断(证明)函数的单调性
【例1】 (1)求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
(2)判断函数f(x)＝在区间(0,2)上的单调性．
[解] (1)证明：由于f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
(2)由于f(x)＝，
所以f′(x)＝＝.
由于00.
故f′(x)＝>0.
∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．
1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．
2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．
1．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．
[证明] 显然函数的定义域为{x|x>0}，
又f′(x)＝(ln x＋x)′＝＋1，
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．
求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝－x3＋3x2.
[思路探究] 首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间．
[解] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，
由f′(x)>0，解得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0，解得x<，
又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，解得x<3，
又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
(3)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．
当00，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围；当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
2．若函数f(x)＝x2－2x－4ln x，则函数f(x)的单调递增区间为________．
(2，＋∞) [由已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2－＝，
由f′(x)>0得x2－x－2>0，
解得x<－1或x>2，
又x>0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
已知函数的单调性求参数的取值范围
[探究问题]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
[提示] 不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
[提示] f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．
【例3】 已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
[思路探究] ―→―→
[解] 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
因为3x2≥0，
所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．
[解] f′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的取值范围．
[解] 由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴即∴a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)．
1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
1．求函数单调区间应遵循“定义域优先”原则．
2．由函数单调性求参数范围时，函数单调递增?f′(x)≥0，函数单调递减?f′(x)≤0，不要忽略“等号”.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )
(2)函数f(x)＝在其定义域上是单调减函数．( )
(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )
(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
C [∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]
3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
(1,2) [f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]
4．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
[解] h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，令G(x)＝－，
所以a≥G(x)最大值，而G(x)＝2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)最大值＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝＝.
因为x∈[1,4]，
所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
课件41张PPT。第1章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 单调性增函数 减函数 增 减 “陡峭” “平缓” 判断(证明)函数的单调性 求函数的单调区间 已知函数的单调性求参数的取值范围 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
C [由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]
2．函数y＝x＋xln x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
B [因为y＝x＋xln x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln x<0，解得0即函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(0，e－2)，
故选B.]
3．曲线y＝x2－2ln x的单调增区间是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1)和(0,1]
D．[－1,0)和[1，＋∞)
B [y′＝2x－，令2x－≥0，结合x>0，解得x≥1.
所以单调增区间为[1，＋∞)．]
4．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
A [f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.]
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
A B C D
D [对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)＜0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)＞0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．]
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为__________．
[令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得7．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
(0，＋∞) [若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]
8．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围是________．
[－2，＋∞) [由题意知h′(x)＝2＋≥0在(1，＋∞)上恒成立，得k≥－2x2，
∴k≥－2.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b的值；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
[解] (1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由
得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x.
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)>0，得x>1或x<－3；
由f′(x)<0，得－3∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．
10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
[解] 因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．
[能力提升练]
1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
B [构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2，
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，
∴x>－1.]
2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
C [因为′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此选C.]
3．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________．
[f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.]
4．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
[显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)＞0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0，得函数f(x)的单调递减区间为.因为函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1＜＜k＋1，解得－＜k＜，又因为(k－1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.综上可知，1≤k＜.]
5．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
[解] (1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，
f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0.
综合得，a的取值范围为(－∞，1]．
