命题及其关系
最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/知识衍化体验.TIF" \* MERGEFORMAT
知 识 梳 理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/SW4.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p?q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q?p
p是q的充要条件 p?q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
[微点提醒]
1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A?B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B?A且A B)两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件?綈B是綈A的充分不必要条件.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/教材衍化.TIF" \* MERGEFORMAT
2.(选修2－1P6练习引申)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A.若α≠，则tan α≠1 B.若α＝，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠ D.若tan α≠1，则α＝
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.
答案 C
3.(选修2－1P8AT2(1)改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为________.
解析 “a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”.
答案 若ab不是偶数，则a，b不都是偶数
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/考题体验.TIF" \* MERGEFORMAT
4.(2018·天津卷)设x∈R，则“<”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由<，得0
答案 A
5.(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.
解析 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则a＋b＝－6答案 －2，－4，－5(答案不唯一)
6.(2019·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的________条件.
解析 显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；
当f(x)为奇函数时，
f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.
答案 充要
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 命题及其关系
【例1】 (1)(2019·郑州模拟)下列说法正确的是( )
A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B.“若am2C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4 x0成立
D.“若sin α≠，则α≠”是真命题
(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析 (1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；
对于B项，若“am2对于C项，由指数函数的图象知，?x∈(0，＋∞)，都有4x>3x，C错；
对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝，则sin α＝”是真命题，故原命题是真命题.
(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).
答案 (1)D (2)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝)
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
【训练1】 (1)(2018·肇庆一诊)命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )
A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
(2)命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则m解析 (1)命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.
(2)命题p的逆命题是若x>a，则x>0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1.则实数a的取值范围是[0，1).
答案 (1)D (2)[0，1)
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】 (1)(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设函数f(x)＝则“m>1是f[f(－1)]>4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 (1)|a－3b|＝|3a＋b|?(a－3b)2＝(3a＋b)2?a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0?a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.
(2)当m>1时，f [f(－1)]＝f ＝f(2)＝22m＋1>4，
当f[f(－1)]>4时，f [f(－1)]＝f ＝f(2)＝22m＋1>4＝22，
∴2m＋1>2，解得m>.
故“m>1”是“f[f(－1)]>4”的充分不必要条件.
答案 (1)C (2)A
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】 (1)(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2019·佛山质检)已知函数f(x)＝3x－3－x，?a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)若m?α，n?α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
(2)因为f(x)＝3x－3－x，
所以f′(x)＝3xln 3－3－xln 3×(－1)＝3xln 3＋3－xln 3，
易知f′(x)>0，
所以函数f(x)＝3x－3－x为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件.
答案 (1)A (2)C
考点三 充分条件、必要条件的应用 INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 典例迁移
【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S?P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
【迁移探究2】 设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
p是q的充分不必要条件.
∴p?q且q p，即P?S.
∴或
∴m≥9，又因为S为非空集合，
所以1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，实数m的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】 (2018·浏阳三校联考)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 由p得(x－3a)(x－a)<0，当a<0时，3a由q得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，则x<－4或x≥－2.
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
又p是q的充分不必要条件.
可知A?B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－.
又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.
2.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为A和B.
(1)若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
[易错防范]
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/分层限时训练.tif" \* MERGEFORMAT
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(2019·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A.若a≤b，则a＋c≤b＋c B.若a＋c≤b＋c，则a≤b
C.若a＋c>b＋c，则a>b D.若a>b，则a＋c≤b＋c
解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.
答案 A
2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.
答案 B
3.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
A.ac2>bc2 B.>1
C.a－c>b－c D.a2>b2
解析 对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2答案 C
4.(2018·成都诊断)命题p：cos θ＝，命题q：tan θ＝1，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由cos θ＝，得θ＝±＋2kπ，k∈Z，则tan θ＝±1，
故p q，p是q的不充分条件；
由tan θ＝1，得θ＝＋kπ，k∈Z，则cos θ＝±，
故q p，p是q的不必要条件；
所以p是q的既不充分也不必要条件.
答案 D
5.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
解析 原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.
答案 C
6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是
綈p，则a的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案 A
7.(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
答案 A
8.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题.
答案 C
二、填空题
9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).
解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
答案 必要
10.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价.
解析 ①不正确.由log2a>0，得a>1，∴f(x)＝logax在其定义域内是增函数.
②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.
③不正确，原命题的逆命题为：“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.
答案 ②④
11.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解之得－1答案 －112.(2019·湖南师大附中月考)设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.
解析 p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}，由q是p的必要而不充分条件可知A?B，所以a≤且a＋1≥1，所以0≤a≤.
答案
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5等价d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 C
14.(一题多解)(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>0，且綈q的一个必要不充分条件是綈p，则a的取值范围是( )
A.[－3，0] B.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
C.(－3，0) D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)
解析 法一 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1.
则綈p对应的集合为A＝{x|－3≤x≤1}.
命题q：x>a＋1或x则綈q对应的集合为B＝{x|a≤x≤a＋1}.
依题意綈q是綈p的充分不必要条件，所以B?A，
故解得－3≤a≤0.
法二 ∵綈q的一个必要不充分条件是綈p，
∴綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，
p对应的集合C＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1}，
q对应的集合D＝＝{x|x>a＋1或x由于p是q的充分不必要条件知，C?D，
∴解得－3≤a≤0.
答案 A
15.若不等式m－1解析 由题意可知?(m－1，m＋1)，借助数轴得解得－≤m≤，
故实数m的取值范围是.
答案
16.“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的__________条件.
解析 当a＝1时，f(－x)＝－f(x)(x∈R)，则f(x)是奇函数，充分性成立.
若f(x)为奇函数，恒有f(－x)＝－f(x)，得(1－a2)(e2x＋1)＝0，则a＝±1，必要性不成立.故“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/知识衍化体验.TIF" \* MERGEFORMAT
知 识 梳 理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p q p∧q p∨q 綈p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示.
3.全称命题和特称命题
名称形式 全称命题 特称命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0)
否定 ?x0∈M，綈p(x0) ?x∈M，綈p(x)
[微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.
基 础 自 测
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/疑误辨析.TIF" \* MERGEFORMAT
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)?x0∈M，p(x0)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反.( )
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/教材衍化.TIF" \* MERGEFORMAT
2.(选修2－1P26A3改编)命题“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )
A.?x0∈R，x＋x0≤0 B.?x0∈R，x＋x0<0
C.?x∈R，x2＋x≤0 D.?x∈R，x2＋x<0
解析 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.
答案 B
3.(选修2－1P18A1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.
答案 B
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/考题体验.TIF" \* MERGEFORMAT
4.(2019·贵阳调研)下列命题中的假命题是( )
A.?x0∈R，lg x0＝1 B.?x0∈R，sin x0＝0
C.?x∈R，x3＞0 D.?x∈R，2x＞0
解析 当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，?x∈R，2x＞0，则D为真命题.
答案 C
5.(2018·安徽江南十校模拟)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
答案 A
6.(2019·豫南五校联考)若“?x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.
解析 由x∈，∴1≤tan x＋2≤2＋.
∵“?x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案 1
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/考点聚焦突破.tif" \* MERGEFORMAT
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∧(綈q)
(2)(2018·太原模拟)已知命题p：?x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a，则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
解析 (1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.
又a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb(x∈R)，由b∥c知b＝yc(y∈R)，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.
綈p为真命题，綈q为假命题.
∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.
(2)∵x2－x＋1＝＋≥>0，所以?x0∈R，使x－x0＋1≥0成立，故p为真命题，綈p为假命题.又易知命题q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.
【训练1】 (1)(2019·济南模拟)若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则( )
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题，命题q是假命题
D.命题p是假命题，命题q是真命题
(2)(2017·山东卷)已知命题p：?x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A.p∧q B.p∧綈q
C.綈p∧q D.綈p∧綈q
解析 (1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，所以q为真命题.
(2)∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p是真命题，綈p为假命题.
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，綈q为真命题.
∴p∧綈q为真命题，p∧q，綈p∧q，綈p∧綈q为假命题.
答案 (1)D (2)B
考点二 全称量词与存在量词 INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/箭头.TIF" \* MERGEFORMAT 多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2－1】 命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞n
B.?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n
C.?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)＞n0
D.?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0
解析 全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0.
答案 D
角度2 全称(特称)命题的真假判断
【例2－2】 (1)(2019·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A.?x∈R，f(－x)≠f(x)
B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)
C.?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p：?x∈R，x＋≥2；命题q：?x0∈(0，＋∞)，x＞x，则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∧q
解析 (1)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
(2)对于p：当x＝－1时，x＋＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x＞x，∴q为真命题.
从而綈p为真命题，(綈p)∧q为真命题.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.
【训练2】 (1)(2019·河北“五个一”名校联考)命题“?x0∈R，1A.?x∈R，1B.?x0∈R，1C.?x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2
D.?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
(2)已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题q：?x∈，sin xA.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
解析 (1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”.
(2)因为当x<0时，>1，即2x>3x，所以命题p为假命题，从而綈p为真命题；因为当x∈时，x>sin x，所以命题q为真命题，所以(綈p)∧q为真命题.
答案 (1)D (2)C
考点三 由命题的真假求参数的取值范围
【例3】 (1)(2018·长沙调研)已知命题p：?x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q：?x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________.
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
解析 (1)由题知，命题p：?x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，即x2＋x＋a－1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a－1)<0，解得a>；命题q：?x0∈[－2，2]，使得2a≤2x0，则a≤2.当p∧q为真命题时，须满足故实数a的取值范围为.
(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，对?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.
答案 (1) (2)
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
【训练3】 本例(2)中，若将“?x2∈[1，2]”改为“?x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.
解析 当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，对?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
答案
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/反思与感悟A.TIF" \* MERGEFORMAT
[思维升华]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.
[易错防范]
1.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真.
2.几点注意：
(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/核心素养提升A.tif" \* MERGEFORMAT
逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈
[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解 由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.
又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
评析 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
【例2】 已知函数f(x)＝函数g(x)＝ksin－2k＋2(k>0)，若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围.
解 由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.
评析 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)【例3】 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________.
解析 依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)＝x＋在上是减函数，
∴f(x)max＝f＝.
又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数，∴g(x)max＝8＋a，
因此≤8＋a，则a≥.
答案
评析 理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围.
思考1：在[例3]中，若把“?x2∈[2，3]”变为“?x2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是________.
问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min，请读者完成.
思考2：在[例3]中，若将[例3]中“?x1∈”改为“?x1∈”，其它条件不变，则a的取值范围是______.
问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max，请读者自行求解.
INCLUDEPICTURE "../../../../../共享文件/李书营（方正转word）/（完）2020版%20创新设计%20高考总复习%20学生用书%20数学%20人教A版%20理科%20全国%20转word/分层限时训练.tif" \* MERGEFORMAT
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(2019·益阳调研)已知命题p：“?a≥0，a4＋a2≥0”，则命题綈p为( )
A.?a≥0，a4＋a2<0 B.?a≥0，a4＋a2≤0
C.?a0<0，a＋a<0 D.?a0≥0，a＋a<0
解析 命题p为全称命题，其否定为特称命题.将量词改变，否定结论，即綈p为?a0≥0，a＋a<0.
答案 D
2.第十八届亚运会于2018年8月28日在雅加达隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定选A.
答案 A
3.(2018·昆明诊断)已知命题“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4)
解析 因为命题“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定命题“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0答案 D
4.命题p：函数y＝log2(x－2)的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( )
A.p∧q B.p∨q C.p∧(綈q) D.綈q
解析 由于y＝log2(x－2)的单调递增区间是(2，＋∞)，
所以命题p是假命题.
由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，
所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题.
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题.
答案 B
5.已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“?x0∈R，x＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.(4，＋∞) B.[1，4] C.[e，4] D.(－∞，－1)
解析 由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
答案 C
6.(2019·淮北模拟)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A.p B.綈q C.p∧q D.p∨q
解析 当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；
若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p∨q是真命题.
答案 D
7.已知命题p：?x∈R，2x<3x，命题q：?x∈R，x2＝2－x，若命题(綈p)∧q为真命题，则x的值为( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解析 要使(綈p)∧q为真，所以綈p与q同时为真，而綈p：?x∈R，2x≥3x，
由2x≥3x得≥1，所以x≤0.
由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2.
又x≤0，所以x＝－2.
答案 D
8.已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“?x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. B.(1，＋∞)
C. D.∪(1，＋∞)
解析 ∵函数f(x)＝a2x－2a＋1，
命题“?x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，
∴原命题的否定是：“?x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，
∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，
∴(a－1)2(2a－1)>0，解得a>，且a≠1，
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).
答案 D
二、填空题
9.若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
答案 1
10.已知命题p：>0，则綈p对应的集合为__________.
解析 由p：>0，得p：x>2或x<－1，所以綈p对应的集合为{x|－1≤x≤2}.
答案 {x|－1≤x≤2}
11.下列结论：
①若命题p：?x0∈R，tan x0＝1；命题q：?x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧
(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
12.已知命题p：?x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析 由命题p：?x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2若p∧q为真命题，则－2因为p∧q为假命题，所以m≤－2或m>－1.
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R，?n∈N*，使得nB.?x∈R，?n∈N*，使得nC.?x∈R，?n∈N*，使得nD.?x0∈R，?n∈N*，使得n解析 改变量词，否定结论.
∴綈p应为：?x0∈R，?n∈N*，使得n答案 D
14.(2018·郑州模拟)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：?x>0，2x－a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(1，＋∞) B.(－2，1]
C.(1，2) D.(1，＋∞)
解析 方程x2＋ax＋1＝0没有实根等价于Δ＝a2－4<0，即－20，2x－a>0等价于a<2x在(0，＋∞)上恒成立，即a≤1.
因“綈p”是假命题，则p是真命题，又因“p∧q”是假命题，则q是假命题.
∴解得1答案 C
15.已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝，则f[f(－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是________(填序号).
①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q).
解析 因为3x>0，当m<0时，m－x2<0，
所以命题p为假命题；
当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，
所以f[f(－1)]＝f＝－＝0，
所以命题q为真命题，
逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题.
答案 ②
16.(2019·深圳质检)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若a>0且綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，
当a＝1时，1由|x－3|<1得－1即q为真时，实数x的取值范围是(2，4)，
若p∧q为真，则p真且q真，
故实数x的取值范围是(2，3).
(2)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，
又a>0，所以a若綈p是綈q的充分不必要条件，
则綈p?綈q，且綈q ? 綈p，所以q?p，且p? q，
即q是p的充分不必要条件.
设A＝{x|p}，B＝{x|q}，则B?A，
又A＝{x|p}＝{x|a所以3a≥4且a≤2，解得≤a≤2，
∴实数a的取值范围是.
