2.4 二项分布
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．(重点)
2．能利用二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)
1.通过对n次独立重复试验及二项分布的学习，培养数学抽象素养．
2．借助两个模型解决实际问题，提升数学建模素养.
1．n次独立重复试验
(1)定义：一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)＝p>0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．
(2)概率计算：在n次独立重复试验中，如果每次试验事件A发生的概率均为p(0
Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n.
2．二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，
其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
思考1：有放回地抽样试验是独立重复试验吗？
[提示] 是．有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验．
思考2：二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有正整数吗？
[提示] 不是．二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有自然数．
1．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
A [因为X～B(10,0.8)，所以P(X＝k)＝C0.8k(1－0.8)10－k，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.]
2．独立重复试验满足的条件是________．(填序号)
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中发生的机会是相同；
④每次试验发生的事件是互斥的．
①②③ [由n次独立重复试验的定义知①②③正确．]
3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
[抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝C2＝.]
独立重复试验中的概率问题
【例1】 (1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93；
②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．
(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
①5次预报中恰有2次准确的概率；
②5次预报中至少有2次准确的概率；
③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[思路探究] 先判断“射击手连续射击3次”能否看成，“一次射击”试验重复做了三次，同样，气象站5次预报准确与否也可看成是5次独立重复的试验，结合二项分布求概率．
①②④ [(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.]
(2)[解] 记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为
P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
所以概率为P＝C×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．
(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为________．
(1) (2) [(1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P＝2＋C×××＝.
(2)由题意知，Cp0(1－p)4＝1－，p＝.]
二项分布
【例2】 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．
[思路探究] (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．
[解] (1)ξ～B，ξ的分布列为P(ξ＝k)
＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
5
P
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．
[解] (1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB＋”，且事件A，B相互独立．
∴P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B.
∴P(ξ＝k)＝Ck4－k
＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
独立重复试验与二项分布综合应用
[探究问题]
1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？
[提示] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．
2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
【例3】 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
[思路探究] (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝；
(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．
[解] (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且
p(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C＋D，且C，D互斥，
又P(C)＝C2
＝，
P(D)＝C3＝，
由互斥事件的概率公式得
P(AB)＝P(C)＋P(D)
＝＋＝
＝.
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
3．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．
[解] 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，用P(Ai)＝，P(Bj)＝，P(Ck)＝.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．
P＝3! P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B，且ξ＝3－η，所以
P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C3＝，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2＝，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C2＝，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3＝.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝，所以ξ～B，即P(ξ＝k)＝Ck·3－k，k＝0,1,2,3.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
1．本节课的重点是n次独立重复试验及二项分布，难点是二项分布的应用．
2．要注意区分二项分布、两点分布、超几何分布
(1)当n＝1时，二项分布就是两点分布；
(2)二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验；超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的．即二项分布与超几何分布的最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.
1．已知X～B，则P(X＝2)等于( )
A. B.
C. D.
D [P(X＝2)＝C24＝ .]
2．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
①② [①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]
3．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
或 [P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，
即p2(1－p)2＝2·2，
解得p＝或p＝.]
4．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
[解] 设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A，B”，则P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲射击4次，全击中目标的概率为
CP4(A)[1－P(A)]0＝4＝.
所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为
1－＝.
(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为
CP2(A)·[1－P(A)]2＝6×2×2＝.
乙恰好击中3次，概率为CP3(B)·[1－P(B)]1＝.
故所求概率为×＝.
课件49张PPT。第2章 概率2.4 二项分布234对立 A 伯努利试验 5X～B(n，p) 67891011独立重复试验中的概率问题 12131415161718二项分布 19202122232425独立重复试验与二项分布综合应用 2627282930313233343536373839404142434445464748点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 二项分布
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．一头病猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头猪被治愈的概率为( )
A．0.93 B．1－(1－0.9)3
C．C×0.93×0.12 D．C×0.13×0.92
C [由独立重复试验恰好发生k次的概率公式知，该事件的概率为C×0.93×(1－0.9)2.]
2．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( )
A. B.
C. D.
C [设事件A每次试验发生的概率为p，则1－(1－p)3＝，解得p＝，故事件A发生一次的概率为C××2＝.]
3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为( )
A. B.
C. D.
A [设所求概率为p，则1－(1－p)4＝，得p＝.]
4．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现(k＋1)次正面的概率，那么k＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [∴P(k)＝C5，P(k＋1)＝C5.
又∵P(k)＝P(k＋1)，∴C5＝C5，∴C＝C，∴2k＋1＝5，∴k＝2.]
5．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )
A. B.
C. D.
B [此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P＝
C·2·3＝.]
二、填空题
6．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
[每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，申请A片区房源记为A，则P(A)＝，所以恰有2人申请A片区的概率为C·2·2＝.]
7．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
[∵X～B(2，p)，P(X≥1)＝，∴1－Cp0·(1－p)2＝，即1－(1－p)2＝，解得p＝.
又∵Y～B(3，p)，∴P(Y＝2)＝C×2×1＝.]
8．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．
(用数字作答)
[由已知可求通项公式为an＝10－2n(n＝1,2,3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，取得负数的概率为.
∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.]
三、解答题
9．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．
[解] 由已知每位参加保险人员选择A社区的概率为，4名人员选择A社区即4次独立重复试验，
即X～B，所以P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0,1,2,3,4)，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
10．甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的．
(1)求甲队以3∶2获胜的概率；
(2)求乙队获胜的概率．
[解] (1)设甲队以3∶2获胜的概率为P1，
则P1＝C2·2·＝.
(2)设乙队获胜的概率为P2，则P2＝3＋C2··＋C2·2·＝.
[能力提升练]
1．在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的概率为，该智能汽车移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为( )
A. B.
C. D.
D [若该智能汽车移动6次恰好到点(3,3)，则智能汽车在移动过程中沿x轴正方向移动3次、沿y轴正方向移动3次，因此智能汽车移动6次后恰好位于点(3,3)的概率为P＝C33＝20×＝.]
2．掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为Pn(k)，若n＝20，则当Pn(k)取最大值时，k为( )
A．3 B．4
C．8 D．10
A [掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X，X～B，Pn(k)＝C·20－k·k，
＝.
当1≤k≤3时，>1，Pn(k)>Pn(k－1)．当k≥4时，<1，Pn(k)Pn(k)取最大值．故选A.]
3．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝
如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
[由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，摸得1次红球，每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×1·4＝.]
4．现有A，B两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分．A队中每人答对的概率均为，B队中3人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则P(MN)＝________.
[记“A队得2分”为事件M，A队得2分，即A队三人有一人答错，其余两人答对，其概率P(M)＝C×2＝，记“B队得1分”为事件N，事件N即为B队三人2人答错，一人答对，则P(N)＝××＋××＋××＝，A队得2分，B队得一分，即事件M，N同时发生．
则P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.]
5．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
[解] 设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1棵成活的概率为
1－P(···)
＝1－P()·P()·P()·P()
＝1－2×2＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P＝C×·C×＝×＝＝.
