2.5 随机变量的均值和方差
2.5.1 离散型随机变量的均值
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．(重点、难点)
2．掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式．(重点)
3．能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题．(重点)
1.经历概念构建，提升逻辑推理素养．
2．借助实际应用，培养数学抽象素养.
1．离散型随机变量的均值(数学期望)的定义
若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.
2．超几何分布、二项分布的数学期望
(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝.
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考1：离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？
[提示] ①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
思考2：随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其值随X的变化而变化吗？
[提示] 随机变量的均值是常数，其值不随X的变化而变化．
1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为( )
A．1.18 B．3.55
C．1.23 D．2.38
A [因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的概率分布列为
X
1.2
1.18
1.17
P
则E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.]
2．已知离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝________.
[E(X)＝1×＋2×＋3×＝.]
3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．
[E(X)＝np＝4×＝.]
两点分布、二项分布、超几何分布的期望
【例1】 (1)老师把4本不同的数学参考书和2本不同的英语参考书发给甲、乙两位同学，每人3本，假设老师拿每本书是随机的，用随机变量X表示同学甲得到的英语书的本数，则X的数学期望为________．
(2)某运动员投篮命中率为p＝0.6.
①求投篮1次时命中次数X的数学期望．
②求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．
(1)1 [这是一个超几何分布问题，实际上是从6本书(其中英语书有2本)中取3本的问题．
法一：依题意知，X的可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝，k＝0,1,2，故X的分布列如表所示．
X
0
1
2
P
从而E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
法二：依其数学模型知，X服从超几何分布，且n＝3，M＝2，N＝6，则E(X)＝＝＝1.]
(2)[解] ①投篮1次，命中次数X的分布列如表：
X
0
1
p
0.4
0.6
则F(X)＝p＝0.6.
②由题意得，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的数学期望．
[解] 重复投篮10次，命中次数ξ服从二项分布，即ξ～B(10，0.6)
∴E(ξ)＝10×0.6＝6.
2．(变设问)重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2，求E(η)．
[解] E(η)＝E(5Y＋2)＝5E(Y)＋2＝5×3＋2＝17.
1．通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便．
2．超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤：
(1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布；
(2)找出相应的参数；
(3)利用数学期望公式求E(X)．
定义法求离散型随机变量的数学期望
【例2】 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．
[思路探究] (1)利用古典概型求解．
(2)先写出X的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解．
[解] (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝＝＝.
(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.
{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；
{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；
于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
2
3
4
P
因此随机变量X的数学期望
E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
1．求解本题的关键是明确随机变量X的含义，同时计算P(X＝2)时采用了间接法．
2．定义法求数学期望的步骤：
(1)确定随机变量的取值；
(2)求随机变量的概率分布；
(3)根据E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求数学期望E(X)．
1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
[解] X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
离散型随机变量的均值实际应用
[探究问题]
1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？
[提示] 随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.
2．在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？
[提示] 每次平均得分为＝0.8.
3．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？
[提示] 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．
【例3】 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[思路探究] →
→→
[解] (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，
P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，
P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
1．实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．
2．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．
[解] (1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，
E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用．
2．要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论
(1)E(C)＝C(C为常数)；
(2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；
(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2).
1．随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
0.2
0.5
m
则X的均值是( )
A．2 B．2.1
C．2.3 D．随m的变化而变化
B [因为0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.]
2．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数为X，则E(2X＋1)等于( )
A. B.
C.3 D.
D [由题可知，X服从二项分布，即X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.]
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
0.4 [依题意得
即
解得y＝0.4.]
4．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.
－ [∵P(X＝1)＝a＋b，
P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
∴14a＋6b＝3. ①
又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
∴6a＋3b＝1. ②
∴由①②可知a＝，b＝－，
∴a＋b＝－.]
5．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值．
[解] (1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
课件46张PPT。第2章 概率2.5 随机变量的均值和方差
2.5.1 离散型随机变量的均值x1p1＋x2p2＋…＋xnpn x1p1＋x2p2＋…＋xnpn np 两点分布、二项分布、超几何分布的期望 定义法求离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的均值实际应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一)
离散型随机变量的均值
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
D [∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.]
2．已知随机变量X的分布列为：
X
－1
0
1
P
则E(X)等于( )
A．0 B．－1
C．－ D．
C [由题意可知E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.]
3．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A. B.
C. D.
D [E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.]
4．设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均值为( )
A．20 B．10
C．5 D．15
B [废品率为，抽取到的废品数X～B，所以E(X)＝150×＝10.]
5．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
B [当ξ＝0时，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.]
二、填空题
6．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是：
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定________车床生产的质量好．
甲 [E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
显然E(X)＜E(Y)，由数学期望的意义知，甲的质量比乙的质量好．]
7．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件检查，则查得次品数X的数学期望为________．
[由题意可知，次品数X服从超几何分布，
其中n＝2，M＝3，N＝10，
∴E(X)＝＝.]
8.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于________．
[125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，
∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×1＋×2＋×3＝＝.]
三、解答题
9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？
[解] 设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3 000)，
∴P(ξ＝k)＝C(0.04)k(1－0.04)3 000－k，
则ξ～B(3 000,0.04)，那么E(ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)．
∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[解] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
[能力提升练]
1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
B [出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．]
2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是( )
A. B.
C. D.
C [X的所有可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝1－p(1－p)－p＝1－2p＋p2，
∴E(X)＝1×p＋2×(1－p)p＋3×(1－2p＋p2)＝3－3p＋p2.
由E(X)＞1.75，得3－3p＋p2＞1.75，解得p＜或p＞(舍去)，
∴p的取值范围为.]
3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
[∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×2＋2××2＝，P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，P(X＝3)＝×2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.]
4．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E(ξ1)－E(ξ2)＝________(元)．
0．2 [赌金的分布列为
ξ1
1
2
3
4
5
P
所以E(ξ1)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3；
奖金的分布列为
ξ2
1.4
2.8
4.2
5.6
P
＝
＝
＝
＝
所以E(ξ2)＝1.4×＝2.8，
则E(ξ1)－E(ξ2)＝3－2.8＝0.2(元)．]
5．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
[解] (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝.
所以X的分布列为
X
0
－1
1
P
则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.
