2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解并掌握随机变量的方差和标准差的概念，了解方差、标准差的意义．(重点)
2．掌握服从两点分布和二项分布的方差公式，会运用方差的概念及相关公式求随机变量的方差和标准差．(难点)
1.借助概念构建，提升数学抽象素养．
2．借助实际问题的解决，培养数学建模、数学运算素养.
1．离散型随机变量的方差和标准差
若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或σ2.即V(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn，其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.方差也可用公式V(X)＝xpi－μ2计算．X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝.
2．超几何分布和二项分布的方差
(1)若X～0-1分布，则V(X)＝p(1－p)；
(2)当X～H(n，M，N)时，V(X)＝
(3)当X～B(n，p)时，V(X)＝np(1－p)．
思考1：离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？
[提示] 离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．
思考2：离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？
[提示] 离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定．
1．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，V(X)的值分别是( )
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
D [随机变量X的概率分布符合两点分布，所以E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．]
2．已知随机变量ξ，V(ξ)＝，则ξ的标准差为________．
[ξ的标准差＝＝.]
3．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则V(X)的值为________．
[由题意知X～B，所以V(X)＝4××＝.]
方差和标准差的计算
【例1】 (1)已知随机变量X满足V(X)＝2，则V(3X＋2)＝______.
(2)一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则V(ξ)等于________．
(3)已知η的分布列为：
η
0
10
20
50
60
P
①求η的方差及标准差；
②设Y＝2η－E(η)，求V(Y)．
(1)18 (2)0.196 [(1)V(3X＋2)＝9V(X)＝18.
(2)ξ服从二项分布，ξ～B(10,0.02)，
∴V(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.]
(3)[解] ①∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
所以V(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
②法一：随机变量Y的概率分布为：
Y
－16
4
24
84
104
P
∴E(Y)＝－16×＋4×＋24×＋84×＋104×＝16，
V(Y)＝(－16－16)2×＋(4－16)2×＋(24－16)2×＋(84－16)2×＋(104－16)2×＝1 536.
法二：∵Y＝2η－E(η)，
V(Y)＝V(2η－E(η))＝22V(η)＝4×384＝1 536.
求离散型随机变量的方差的类型及方法
(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下：
①求均值；②求方差．
(2)已知分布列是两点分布或二项分布：型：直接套用公式求解，具体如下：
①若X服从两点分布，则V(X)＝p(1－p)；
②若X～B(n，p)，则V(X)＝np(1－p)．
(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况．
(4)对于已知V(X)求V(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用V(aX＋b)＝a2V(X)求解．
1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，V(X)＝，求n，p的值．
[解] 由题意知，X服从二项分布B(n，p)，
由E(X)＝np＝3，V(X)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，
∴p＝，n＝6.
方差的应用
【例2】 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.4.用击中环数的数学期望与方差比较两名射手的射击水平．
[思路探究] 分别计算甲、乙两射手的期望与方差，比较其大小，并依据期望与方差的意义作出结论．
[解] 设甲、乙两射手射击，击中环数分别为ξ1，ξ2，E(ξ1)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9.
V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；
同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.
由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)＜V(ξ2)．
所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲的环数较集中，而乙的环数较分散．
1.均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓．
2.有时两个随机变量即使均值相同，其取值差异也可能很大，此时，我们就要利用方差来反映随机变量取值的集中程度．由此来刻画两个随机变量的分布，对实际问题作出决策判断．
2．在例2题设条件不变的条件下，
(1)其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？
(2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
[解] (1)如果其他对手射击成绩都在8环左右，且甲射击水平更稳定，故应派甲．
(2)如果其他对手射击成绩都在9环左右，由于乙射击10环的可能性较甲大，故应派乙．
均值、方差的综合应用
[探究问题]
1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
试求E(X1)，E(X2)．
[提示] E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)．
3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
【例3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
[思路探究] (1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．
[解] (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
V(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
V(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，V(ξ)利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论．依据方差的几何意义做出结论．
3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区：
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
[解] 甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；V(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
V(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，V(X)>V(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．
1．本节课的重点是方差的计算及方差的应用，难点是方差的应用．
2．通常在求离散型随机变量的均值与方差时，先分析随机变量的分布特征，看其是否为常用的特殊分布．如果是，就直接用公式求解；如果不是，则按求均值与方差的基本方法进行求解.
1．下列说法中正确的是( )
A．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差V(ξ)反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差V(ξ)反映了取值的概率的平均值
C [离散型随机变量的均值E(ξ)反映了取值的平均水平，它的方差反映了取值的离散程度．]
2．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η)和V(η)的值分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
B [由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，V(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，V(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.]
3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，V(X1)>V(X2)，则自动包装机________的质量较好．
乙 [因为E(X1)＝E(X2)，V(X1)>V(X2)，故乙包装机的质量稳定．]
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝________，b＝________.
[由题意，
解得a＝，b＝c＝.]
5．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
X1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
[解] ∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵V(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
V(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴V(X1)由上可知，A面大钟的质量较好．
课件44张PPT。第2章 概率2.5 随机变量的均值和方差
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差算术平方根 p(1－p) np(1－p) 方差和标准差的计算 方差的应用 均值、方差的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二)
离散型随机变量的方差与标准差
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为V(X甲)＝11，V(X乙)＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
B [∵V(X甲)>V(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻整齐．]
2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
B [由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.]
3．已知随机变量X的方差V(X)＝m，设Y＝3X＋2，则V(Y)＝( )
A．9m B．3m
C．m D．3m＋2
A [因为V(X)＝m，所以V(Y)＝V(3X＋2)＝32V(X)＝9V(X)＝9m.]
4．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则下列式子：①E(X)＝－；②V(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由分布列可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；V(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确，③显然正确．]
5．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差V(X)＝( )
A. B.
C. D.
A [显然X服从两点分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.故X的分布列为
X
0
1
P
所以E(X)＝，故V(X)＝×＝.]
二、填空题
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．
[法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝2＝.
所以在2次试验中成功次数X的分布列为
X
0
1
2
P
则在2次试验中成功次数X的均值为
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
法二：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝np＝2×＝.]
7．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
5 [成功次数ξ～B(100，p)，∴V(ξ)＝100p(1－p)≤100×2＝25.当且仅当p＝1－p，即p＝时，取得最大值＝5.]
8．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．
60,96 [设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，V(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，V(Y)＝V(4X)＝42×V(X)＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.]
三、解答题
9．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，设ξ表示取出次品的个数．
(1)若取后不放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)；
(2)若取后再放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)．
[解] (1)由题意，得ξ～H(3,2,15)，
E(ξ)＝＝＝，
V(ξ)＝
＝＝.
(2)由题意ξ～B，E(ξ)＝np＝3×＝，
V(ξ)＝np(1－p)＝3××＝.
10．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．
[解] (1)“有放回摸球”可看作独立重复试验，
因为每摸出一球得白球的概率为p＝＝.
所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C··＝.
(2)设摸得白球的个数为ξ，依题意得：
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
V(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
[能力提升练]
1．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A. B.
C．3 D.
C [∵E(X)＝x1＋x2＝.∴x2＝4－2x1，V(X)＝2×＋2×＝.
∵x1∴x1＋x2＝3.]
2．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下：
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
Y＝k
0
1
2
P(Y＝k)
甲、乙两名工人的技术水平较好的为( )
A．一样好 B．甲
C．乙 D．无法比较
C [工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：
E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
V(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.
工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
V(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但V(X)>V(Y)，可见乙的技术比较稳定．]
3．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则V(ξ)的最小值等于________．
0 [由分布列中，概率和为1，则a＋＝1，a＝.
∵E(ξ)＝2，∴＋＝2，∴m＝6－2n.
∴V(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.
∴n＝2时，V(ξ)取最小值0.]
4．有同寝室的四位同学分别每人写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，则X的方差是________．
1 [由条件，得X的概率分布列为：
X
0
1
2
4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝1.]
5．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的概率分布，期望E(X)及方差V(X)．
[解] (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率分别为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差V(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
