2.6 正态分布
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点)
2.会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点)
1.通过对概念的学习，培养数学抽象素养．
2.借助利用正态分布解决实际问题，发展数学建模、直观想象素养.
1．正态密度曲线
(1)正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝e，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X的均值，σ2是随机变量X的方差，且σ>0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．
(2)正态密度曲线图象具有如下特征：
①当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；
②正态曲线关于直线x＝μ对称；
③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；
④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
2．正态分布
(1)正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a
(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率
若X～N(μ，σ2)时，
①落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，
②落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，
③落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.
由于落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，落在该区间之外的概率仅为0.003，属小概率事件，因而认为X极大可能取(μ－3σ，μ＋3σ)内的值．
3．中心极限定理
在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．
思考1：函数φμ，σ(x)＝e，x∈R中的参数μ和σ反映了随机变量的什么特征？
[提示] 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数．可以用样本的标准差去估计．
思考2：正态密度曲线随x的变化如何变化？
[提示] 当x<μ时，曲线上升(增函数)；当x>μ时，曲线下降(减函数)，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，则总体的均值和标准差分别是( )
A．0和8 B．0和4
C．0和2 D．0和
C [由条件可知μ＝0，σ＝2.]
2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．
(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
③ [正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．]
3．已知X～N(1.4,0.052)，则X落在区间(1.35,1.45)中的概率为________．
0．683 [∵X～N(1.4,0.052)，∴μ＝1.4，σ＝0.05，
∴P(1.35正态密度函数与正态密度曲线的特征
【例1】 (1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有________．
①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；
③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.
(2)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．
①P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)；
②P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)；
③P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)；
④P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)．
[思路探究] (1)根据μ，σ对密度曲线特征的影响进行比较；
(2)结合N(0,1)的图象特征逐一检验．
(1)① (2)②④ [(1)由两密度曲线的对称轴位置知：μ1<μ2；由曲线的陡峭程度知：σ1<σ2.
(2)因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不正确；
因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|＞a)＝1，所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)，所以④正确．]
1．正态密度函数中，有两个参数μ，σ.μ即均值，σ为标准差．
2．在正态密度曲线中，参数μ确定了曲线的对称轴，σ确定了曲线的陡峭程度．
1．关于正态曲线P(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：
①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；
②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；
③正态密度曲线与x轴一定不相交；
④正态密度曲线与x轴一定相交；
⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；
⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；
⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．
其中正确的是________(填序号)．
①③⑥⑦ [根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．]
利用正态分布的对称性解题
【例2】 设随机变量X～N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．
(1)求c的值；(2)求P(－4＜x＜8)．
[思路探究] (1)利用对称性求c的值；(2)利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解．
[解] (1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.
(2)P(－4＜x＜8)＝P(2－2×3＜x＜2＋2×3)＝0.954.
正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
(3)注意概率值的求解转化：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b＜μ，则P(X＜b)＝.
2．若随机变量X～N(0,1)，查标准正态分布表，求：
(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；
(3)P(0.51[解] (1)P(X≤1.26)＝0.896 2.
(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)
＝1－0.896 2＝0.103 8.
(3)P(0.51(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.
正态分布的实际应用
[探究问题]
1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
[提示] 零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？
[提示] P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．
3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
[提示] 由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
[思路探究] 将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
[解] μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，
∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.
∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．
[解] ∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＝P(μ－2σ＝×0.954 4＋×0.682 6＝0.818 5.
即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.
1．本节课的重点是正态曲线及正态分布下的概率计算问题，难点是正态分布的应用．
2．要掌握正态分布的以下三个问题
(1)利用正态曲线的特征研究μ和σ.
(2)正态分布下的概率求值问题．
(3)正态分布的应用．
3．利用正态曲线的对称性解题，应注意以下知识的应用：
(1)曲线与x轴之间的面积为1；
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上的概率相等；
(3)P(x1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( )
(3)正态曲线是一条钟形曲线．( )
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．( )
[解析] (1)× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)√ 因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝
e，则( )
A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2
C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝
C [由φ(x)＝·e，得μ＝2，σ＝.]
3．已知正态分布总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值为________．
1 [区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以均值μ为1.]
4.随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．
[解] 如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.841 3，所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.
课件42张PPT。第2章 概率2.6 正态分布均值 方差 上升 下降 x轴 扁平 尖陡 1 x＝μ 面积 N(0,1) 68.3% 95.4% 99.7% 中心极限定理 正态密度函数与正态密度曲线的特征 利用正态分布的对称性解题 正态分布的实际应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 正态分布
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是( )
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
C [正态密度函数为φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为φμ，σ(μ)＝，所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位．故选C.]
2．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e (x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
D [因为正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以第一个曲线的均值比第二和第三个图象的均值小，且第二，三两个图象的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小．]
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝( )
A．0.976 B．0.024
C．0.488 D．0.048
C [因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，故其正态曲线关于直线x＝1对称．又P(ξ>3)＝0.012，故P(ξ<－1)＝0.012，因此P(－1≤ξ≤1)＝－P(ξ<－1)＝0.5－0.012＝0.488.]
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为( )
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C [根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15)，即(7.55,8.45)之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．]
5．某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,102)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( )
A．22.8% B．45.6%
C．95.4% D．97.22%
C [设该校高考数学成绩为X，由X～N(100,102)知，正态分布的两个参数为μ＝100，σ＝10，所以P(80二、填空题
6．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝________.
[由正态分布图象(图略)知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)＝.]
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ 在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
0．8 [由对称性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.]
8．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是
P(x)＝e，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，P(μ＋x)＝P(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
①②④ [画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图．
由图可得：
①图象关于x＝μ对称，故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(ξ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.]
三、解答题
9．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且P(80)＝ .
(1)求正态分布密度函数的解析式；
(2)估计尺寸在72 mm～88 mm之间的零件大约占总数的百分之几．
[解] (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．
因此得μ＝80，＝，所以σ＝8.
故正态分布密度函数的解析式是
P(x)＝e (x∈R)．
(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.683.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.3%.
10．设X～N(6,1)，求P(4＜X≤5)．
[解] 由已知得μ＝6，σ＝1.
∵P(5＜X≤7)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683，
P(4＜X≤8)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954.
如图，由正态分布的对称性知
P(4＜x≤5)＝P(7＜x≤8)．
∴P(4＜x≤5)＝[P(4＜x≤8)－P(5＜x≤7)]
＝×0.271＝0.135 5.
[能力提升练]
1．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，则成绩X位于区间(52,68]内的学生数约为( )
A．228 B．456
C．683 D．901
C [根据题意可知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，
∴P(μ－σ2．设X～N(μ1、σ)，Y～N(μ2、σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
C [由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1、σ)，Y～N(μ2、σ)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，故B错误．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错误．]
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于________．
0．3 [∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝0.2.
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.]
4．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|≤1.96)等于________．
0．950 [由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，
得P(ξ＜1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，
所以P(|ξ|≤1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)
＝P(ξ≤1.96)－P(ξ≤－1.96)
＝1－2P(ξ≤－1.96)
＝1－2×0.025＝0.950.]
5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ[解] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.683＝68.3.
