两个计数原理
【例1】 (1)椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．
(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
(1)20 [因为焦点在y轴上，所以0(2)解：用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．
第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．
1．使用两个原理解决问题的思路
(1)选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事情采取的方式而定，确定是分类还是分步，要抓住两个原理的本质．
(2)分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．
(3)分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理．
2．使用两个原理解决问题时应注意的问题
对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
1．某外语组有10人，每人至少会英语、法语中的一门．其中7人会英语，5人会法语．从中选择会英语和法语的各一人派往两地参加会议，有多少种不同的方法？
[解] 由集合知识可知，既会英语又会法语的有7＋5－10＝2(人)，仅会英语的有7－2＝5(人)，仅会法语的有5－2＝3(人)．易知此题的任务是派遣适合条件的两人．
法一：按仅会英语的5人的派遣情况分成两类．
第1类：仅会英语的5人中有1人选中，则有5种方法，而会法语的则有5种方法．从而由分步乘法计数原理知，有5×5＝25种方法；
第2类：仅会英语的5人中没有人被选中，则会英语的必须从既会英语又会法语的2人中选，从而有2种选法．而会法语的只能从两种语言均会的剩余1人或仅会法语的3人中选，共有1＋3＝4种．由分步乘法计数原理得，此时共有2×4＝8种方法．
由分类加法计数原理得，共有25＋8＝33种方法．
法二：按既会英语又会法语的2人的选派情况分成3类．
第1类：2人均未被选派，则有3×5＝15种方法；
第2类：2人均被选派，则有2种方法；
第3类：2人中恰有1人被选派，则又分为两类：
若另一人只会英语，则有2×5＝10种方法，
若另一人只会法语，则有2×3＝6种方法，
由分类加法计数原理得，共有15＋2＋10＋6＝33种方法．
排列组合的综合应用
【例2】 在1,3,5,7,9中任取3个数字，在0,2,4,6,8中任取2个数字，可组成多少个不同的五位偶数？
[解] 共分两类，第一类，五位数中不含数字零．第一步，选出5个数字，有CC种选法．第二步，排成偶数——先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法．∴N1＝C·C·A·A.
第二类，五位数中含有数字零．第一步，选出5个数字，共有CC种选法．第二步，分为两类：①末位排0，有A·A种排列方法；②末位不排0，这时末位数有C种选法，而∵0不能排在首位，∴0有A种排法，其余3个数字有A种排法，∴N2＝C·C·(A·A＋A·A)．∴符合条件的偶数有N＝N1＋N2＝CCAA＋CC(AA＋AA)＝4 560(个)．
1．处理排列组合应用题的一般步骤
(1)认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题．
(2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”．
2．处理排列组合应用题的规律
(1)两种思路：直接法，间接法．
(2)两种途径：元素分析法，位置分析法．
3．排列组合应用题的常见类型和解决方法
(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略．
(2)合理分类与准确分步的策略．
(3)正难则反，等价转化的策略．
(4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略．
(5)元素定序，先排后除的策略．
(6)排列、组合混合题先选后排策略．
(7)复杂问题构造模型策略．
2．(1)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．48种
(2)3名教师与4名学生排成一横排照相，求①3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？②3名教师必须在中间(在3,4,5位置上)的不同排法有多少种？③3名教师不能相邻的不同排法有多少种？
(1)C [把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有A·A种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A·A·A＝24.]
(2)[解] ①3名教师的排法有A，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有A种，
则共有AA＝720(种)．
②3名教师的排法有A，4个学生在4个位子上的全排列共有A种，则共有AA＝144(种)．
③先4个学生全排列，再在五个空位中任选3个排3名教师，共AA＝1 440(种)．
二项式定理的应用
【例3】 用二项式定理证明：(1)1110－1能被100整除；
(2)n－1<(n∈N*，且n≥3)．
[思路探究] (1) →
(2)欲证n－1<成立，只需证n－1>成立．
[证明] (1)1110－1
＝(10＋1)10－1
＝C·1010＋C·109＋…＋C·10＋C－1
＝C·1010＋C·109＋…＋C·102＋102
＝100(108＋C·107＋…＋C＋1)．
显然上式括号内的数是正整数，所以1110－1能被100整除．
(2)因为n－1＝n－1＝C＋C·＋C·2＋…＋C·n－1＝1＋＋C·2＋…＋n－1>>0，
所以n－1<，即原不等式成立．
1．利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理．
2．用二项式定理证明不等式时，应注意巧妙地构造二项式，对展开式的项进行放缩以达到求和的目的．
3．求证：对一切n∈N＋，都有2≤n<3.
[证明] 由于n＝C＋C·＋C·2＋C·3＋…＋C·n＝1＋1＋·＋··＋…＋···…·，所以
2≤n<2＋＋＋…＋<2＋＋＋…＋＝2＋＋＋…＋＝3－<3，即2≤n<3.
当n＝1时，n＝2；当n≥2时，2二项式定理中的“赋值”问题
【例4】 (1)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
(2)设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
①a0.
②a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100.
③a1＋a3＋a5＋…＋a99.
④(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
⑤|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
(1)5 [令x＝2得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，
令x＝3得，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.]
(2)[解] ①令x＝0，则展开式为a0＝2100.
②令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
③令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
与②中(*)式联立相减得
a1＋a3＋…＋a99＝.
④原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.
⑤因为Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，所以a2k－1<0(k∈N*)．
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100
＝(2＋)100.
赋值法的应用规律
与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项和二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．
提醒：求各项系数的绝对值的和时，要先根据绝对值里面数的符号赋值求解．
4．(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，那么自然数n的值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(2)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.
(1)C (2)364 [(1)令x＝1得：a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2，又a0＝n，an＝1，
所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－3－n＝29－n，得n＝4.
(2)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a12＝1，所以a0＋a2＋a4＋…＋a12＝，令x＝0，则a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.]
课件30张PPT。第1章 计数原理章末复习课两个计数原理 排列组合的综合应用 二项式定理的应用 二项式定理中的“赋值”问题 Thank you for watching !章末综合测评(一) 计数原理
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生和女生各1名去参加座谈会，则不同的选法有( )
A．48种 B．24种
C．14种 D．12种
A [男生有8种选法，女生有6种选法，共有8×6＝48种选法．]
2．C＋C等于( )
A．45 B．55
C．65 D．以上都不对
B [C＋C＝C＋C＝55，故选B.]
3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为( )
A．140 B．240
C．360 D．800
B [由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C·25＋C·24＝240.]
4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
D [以1为首项的递增等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的递增等比数列为2,4,8；以4为首项的递增等比数列为4,6,9，共4个．把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．]
5．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A．45 B．60
C．120 D．210
C [因为f(m，n)＝CC，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.]
6．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120
C．720 D．240
C [由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.]
7．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A．CC B．CA
C．CACA D．AA
B [分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有CA种．]
8．现有2个男生，3个女生和1个老师共6人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有2人相邻，则不同的站法种数是( )
A．12 B．24
C．36 D．48
B [第一步，2个男生站两端，有A种站法；第二步，3个女生站中间，有A种站法；第三步，老师站正中间女生的左边或右边，有A种站法．由分步乘法计数原理，得共有A·A·A＝24(种)站法．]
9．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－1
B [令x＝1得，a0＋a1＋a2＋…＋a5＝(2－1)5＝1，令x＝－1得，a0－a1＋a2－…－a5＝(2＋1)5＝243，所以a0＋a2＋a4＝＝122，a1＋a3＋a5＝a0＋a2＋a4－243＝122－243＝－121，所以＝－.]
10．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为( )
A．－4 B.
C．4 D.
C [(x＋1)4＝(1＋x)4的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，令r＝3,4得T4＝Cx3＝4x3，T5＝Cx4＝x4.
因此(x＋1)4(ax－1)展开式中含x4的项为4x3·ax＋x4·(－1)＝(4a－1)·x4.
由题意得4a－1＝15，
所以a＝4.]
11．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360 B．520
C．600 D．720
C [分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10×(24－12)＝120种选法．
所以共有480＋120＝600种选法．]
12.如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A．96 B．84
C．60 D．48
B [按A，B，C，D的顺序种花，分两类：A，C种同一种花，共有：4×3×3＝36(种)；A，C种不同种花，共有4×3×2×2＝48(种)，共计36＋48＝84(种)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．(a1＋a2)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项．
24 [要得到项数分3步：
第1步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；
第2步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；
第3步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．
由分步计数原理知共有2×3×4＝24项．]
14．从正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为________．
58 [在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体，故共有C－12＝58个不同的四面体．]
15．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．
48 [(1)当有1名老队员时，其排法有CCA＝36(种)；
(2)当有2名老队员时，其排法有C·C·C·A＝12(种)，∴共有36＋12＝48(种)．]
16．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
30 [法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0,1}．
(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？
(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有多少个？
[解] (1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27个不同的函数．
(2)列表如下：
f(a)
0
0
0
1
1
－1
－1
f(b)
0
1
－1
0
－1
1
0
f(c)
0
－1
1
－1
0
0
1
从表中可知满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有7个．
18．(本小题满分12分)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男3名，女2名；
(2)队长至少有1人参加；
(3)至少有1名女运动员；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
[解] (1)C×C＝120种不同的选派方法．
(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：共C×C＋C＝196种不同的选派方法．
(3)全部选法中排除无女运动员的情况：
共C－C＝246种不同的选法．
(4)分三类：①仅女队长：C；
②仅男队长：C－C；
③两名队长：C；
∴共C＋C－C＋C＝191种不同的选派方法．
19．(本小题满分12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)a6.
[解] (1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.
(2)a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝C(2x)10－r·(－1)r＝C(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440.
20．(本小题满分12分)已知试求x，n的值．
[解] ∵C＝C＝C，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，∴n＝3x.
由C＝C，得
＝·，
整理得
3(x－1)！(n－x＋1)！＝11(x＋1)！(n－x－1)！，
3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.
将n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，
∴x＝5，n＝3x＝15.
21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；
(3)全体站成一排，女生必须站在一起；
(4)全体站成一排，男生互不相邻．
[解] (1)共有A＝5 040种方法．
(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法．
(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．
(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种方法．
22．(本小题满分12分)设数列{an}是等比数列，a1＝C·A，公比q是4的展开式中的第二项．
(1)用n，x表示通项an与前n项和Sn；
(2)若An＝CS1＋CS2＋…＋CSn，用n，x表示An.
[解] (1)因为a1＝C·A，
所以即
所以m＝3，所以a1＝1.
又由4知T2＝C·x4－1·＝x，
所以an＝xn－1，Sn＝
(2)当x＝1时，Sn＝n，
An＝C＋2C＋3C＋…＋nC. ①
又因为An＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋C＋0·C， ②
由C＝C，①＋②得2An＝n(C＋C＋C＋…＋C)，
所以An＝n·2n－1.
当x≠1时，Sn＝，
An＝C＋C＋C＋…＋C
＝·[(C＋C＋C＋…＋C)－(xC＋x2C＋x3C＋…＋xnC)]＝[2n－1－(1＋xC＋x2C＋…＋xnC－1)]＝[2n－(1＋x)n]．
所以An＝
