条件概率
【例1】 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
[思路探究] 本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．
[解] 设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为
n(Ω)＝A＝20.
根据分步计数原理，n(A)＝A×A＝12.
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率
P(B|A)＝＝＝.
条件概率的求法
(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
提醒：求事件概率的关键是将事件分解为若干个小事件，然后利用概率的加法(互斥事件的求和)、乘法(独立事件同时发生)或除法公式(条件概率)来求解．
1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．
[解] 设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.
法一：P(A|B)＝＝＝.
法二：“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)＝6.
“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)＝3.
从而P(A|B)＝＝＝.
相互独立事件同时发生的概率
【例2】 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X＝1)．
[思路探究] 解决本题的关键是将复杂事件拆分成若干个彼此互斥事件的和或几个彼此相互独立事件的积事件，再利用相应公式求解．
[解] 记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，
B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)D＝A1BC＋A2B＋A2C，
P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2C)
＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2C)
＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P()P(C)＝0.31.
(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．
P(X＝1)＝P(BA0＋A0C＋A1)
＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()·P(A1)P()
＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.
求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A＋B)＝1－P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
提醒：有放回地依次取出3个球，相当于独立重复事件，即ξ～B，则可根据独立重复事件的定义求解．
2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
[解] 记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率为：
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)
＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
离散型随机变量的分布列、均值和方差
【例3】 甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为.
(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1，P2；
(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差．
[思路探究] (1)通过列方程组求P1和P2；(2)由题意求出甲队得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后再求出数学期望和方差．
[解] (1)设“甲队胜乙队”的概率为P1，“甲队胜丙队”的概率为P2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，
所以甲队获得第一名的概率为P1×P2＝. ①
乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，
所以乙队获得第一名的概率为(1－P1)×＝. ②
解②，得P1＝，代入①，得P2＝，
所以甲队胜乙队的概率为，甲队胜丙队的概率为.
(2)ξ的可能取值为0,3,6.
当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为
P(ξ＝0)＝×＝；
当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为
P(ξ＝3)＝×＋×＝；
当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为
P(ξ＝6)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
3
6
P
所以E(ξ)＝0×＋3×＋6×＝.
V(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
求离散型随机变量的期望与方差的步骤
3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解] (1)由已知，有P(A)＝＝.
所以，事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
所以，随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
二项分布
【例4】 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是，甲、丙两人都答错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．
(1)求该单位代表队答对此题的概率；
(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．
[解] (1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A，B，C，由已知，得P(A)＝，[1－P(A)][1－P(C)]＝，
∴P(C)＝.
又P(B)P(C)＝，∴P(B)＝.
∴该单位代表队答对此题的概率
P＝1－××＝.
(2)记X为该单位代表队必答题答对的道数，Y为必答题的得分，则X～B，
∴E(X)＝10×＝.
而Y＝20X－10×(10－X)＝30X－100，
∴E(Y)＝30E(X)－100＝≈184.
二项分布中需要注意问题和关注点
(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关注点
①对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
4．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．
[解] 由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，
P(X＝0)＝C×0.952＝0.902 5；
P(X＝1)＝C×0.05×0.95＝0.095；
P(X＝2)＝C×0.052＝0.002 5.
因此，次品数X的分布列如下：
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
0.902 5
0.095
0.002 5
正态分布
【例5】 某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．
[思路探究] 根据正态分布的性质求出P(550＜x≤600)，即可解决在550～600分的人数．
[解] ∵考生成绩X～N(500,502)，
∴μ＝500，σ＝50，
∴P(550＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，
∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人)．
正态分布的概率求法
(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
5．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是________．
683 [由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5课件36张PPT。第2章 概率章末复习课条件概率 相互独立事件同时发生的概率 离散型随机变量的分布列、均值和方差 二项分布 正态分布 Thank you for watching !章末综合测评(二) 概率
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法不正确的是( )
A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量
B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0
C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值
D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布
C [公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.]
2．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
3
P
p
则p的值为( )
A. B.
C. D.
A [因为＋＋＋p＝1，所以p＝.]
3．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是( )
A．P(X＝0) B．P(X≤2)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
C [由已知易知P(X＝1)＝.]
4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )
A．0.16 B．0.24
C．0.96 D．0.04
C [三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.]
5．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于( )
(注：P(μ－2σA．0.210 B．0.022 8
C．0.045 6 D．0.021 5
B [P(X≤2)＝(1－P(26．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
B [由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.]
7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )
A. B.
C. D.
D [记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
故P(B|A)＝＝.]
8．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好
D．无法判断谁的产品质量好一些
B [∵E(X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
E(X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.
∵E(X甲)>E(X乙)，
∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．]
9．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )
A. B.
C. D.
B [记a2，a3，a4，a5位上出现1的次数为随机变量η，
则η～B，
E(η)＝4×＝.因为ξ＝1＋η，
E(η)＝1＋E(η)＝.故选B.]
10．在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被烧断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A. B.
C. D.
A [当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，可求得A至B畅通的概率为P1＝1－×＝，B至C畅通的概率为P2＝1－×＝，所以电路畅通的概率为P＝P1P2＝×＝.]
11．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为( )
A. B.
C. D.
A [以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，
一共能画出C＝10个三角形，
其中钝角三角形有7个，
所以X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.]
12．某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩X服从正态分布N(100，σ2)，P(X>120)＝a，P(80≤X≤100)＝b，则＋的最小值为( )
A．8 B．9
C．16 D．18
D [∵P(X>120)＝a，P(80≤X≤100)＝b，P(X>120)＝，∴a＋b＝且a>0，b>0，∴＋＝2(a＋b)＝2≥2×(5＋4)＝18，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．故＋的最小值为18.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p＝，则n＝________，V(X)＝________.
21 [∵E(X)＝np＝3，p＝，∴n＝21，
并且V(X)＝np(1－p)＝21××＝.]
14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．
[小球落入B袋中的概率为P1＝×2＝，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝.]
15．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，剩余子弹的均值为________．
2．376 [设剩余的子弹个数为X，
则X所有可能的取值为3,2,1,0，
P(X＝3)＝0.6，
P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(X＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096.
P(X＝0)＝1－0.6－0.24－0.096＝0.064.
所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.]
16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是________．
①②④ [①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故②正确；
③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．
则P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝，故③错；
④每次取到红球的概率P＝，
所以至少有一次取到红球的概率为
1－3＝，
故④正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数X的概率分布．
[解] (1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，
则P(A)＝0.6，
P＝1－P(·)＝1－0.4·P()＝0.92，
解得P()＝0.2，∴P(B)＝0.8.
故该题被乙独立解出的概率为0.8.
(2)P(X＝0)＝P()·P()＝0.4×0.2＝0.08，
P(X＝1)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.44，
P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48，
∴X的概率分布为：
X
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
18．(本小题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的概率分布分别为：
X
900
1 000
1 100
P
0.1
0.8
0.1
Y
950
1 000
1 050
P
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
[解] 由期望的定义，得
E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，
E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.
两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．
由方差的定义，得
V(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，
V(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.
∵V(X)＞V(Y)，∴乙厂生产的灯泡质量比甲稳定，
即乙厂生产的灯泡质量较好．
19．(本小题满分12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的概率分布；
(2)求此员工月工资的期望．
[解] (1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4.
P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)，
故X的概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500，则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝，
P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝，
所以E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280(元)．
所以此员工工资的期望为2 280元．
20．(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的概率分布及数学期望．
[解] (1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)＋(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)·P(B2|A2)＝×＋×＝.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝，
所以X的概率分布为
X
400
500
800
P
E(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.
21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．
[解] (1)依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci4－i.
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为
P(A2)＝C22＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
22．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
[解] (1)X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
(2)(ⅰ)由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．
(ⅱ)由(ⅰ)可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)
＝p1.
由于p8＝1，故p1＝，所以
p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝p1
＝.
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
