线性回归直线方程
【例1】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2010
2012
2014
2016
2018
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量．
[思路探究] 正确利用求回归直线方程的步骤求解，注意数据计算的准确性．
[解] (1)由所给数据看出，把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标，画出散点图草图(图略)，通过观察知这些点大致分布在一条直线附近，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份—2014
－4
－2
0
2
4
需求量—257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2，
＝
＝＝6.5，
＝－ ＝3.2，
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝(x－2012)＋＝6.5(x－2012)＋3.2，
即＝6.5(x－2012)＋260.2.(*)
(2)利用直线方程(*)，可预测2020年的粮食需求量为6.5×(2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
建立回归模型的基本步骤
(1)确定两个变量．
(2)画出散点图．
(3)进行相关系数检验．
(4)确定回归方程类型，求出回归方程．
1．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少小时？
(注：＝，＝－)
[解] (1)散点图如图．
(2)由表中数据得：iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，
∴＝0.7，∴＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示．
(3)将x＝10代入线性回归方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05，
故预测加工10个零件约需要8.05小时．
回归分析
【例2】 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：
x(0.01%)
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y/min
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
(1)y与x是否具有线性相关关系？
(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．
(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？
[思路探究] 列表求r，进行判断，利用，，求，，写出＝＋x.
[解] (1)列出下表：
i
1
2
3
4
5
xi
104
180
190
177
147
yi
100
200
210
185
155
xiyi
10 400
36 000
39 900
32 745
22 785
i
6
7
8
9
10
xi
134
150
191
204
121
yi
135
170
205
235
125
xiyi
18 090
25 500
39 155
47 940
15 125
＝159.8，＝172，
x＝265 448，y＝312 350，xiyi＝287 640，于是r＝≈0.990 6.
根据小概率0.05与n－2＝8在附表中查得r0.05＝0.632，由|r|>r0.05知，有95%的把握认为y与x具有线性相关关系．
(2)设所求回归直线方程为＝＋x，
＝≈1.267，
＝－≈－30.47，
即所求线性回归直线方程为＝1.267x－30.47.
(3)当x＝160时，＝1.267×160－30.47＝172.25(min)，即大约冶炼172.25min.
求回归直线方程的具体步骤
(1)描点，选模：画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数．
(2)解模：先对变量进行适当的变换，再利用线性回归模型来解模．
(3)比较检验：通过回归分析比较所建模型的优劣．
2．测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：
父亲身高(x)
60
62
64
65
66
儿子身高(y)
63.6
65.2
66
65.5
66.9
父亲身高(x)
67
68
70
72
74
儿子身高(y)
67.1
67.4
68.3
70.1
70
(1)画出散点图；
(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归方程；
(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．
[解] (1)
(2)从散点图看出，样本点散布在一条直线附近，因此两个变量呈线性相关关系．
设回归方程为＝x＋.
＝66.8，＝67.01，
2＝4 462.24，2≈4 490.34，x＝44 794，
y＝44 941.93，xiyi＝44 842.4，
由＝＝＝≈0.464 6.
＝－＝67.01－0.464 6×66.8≈35.97.
故所求的回归方程为＝0.464 6x＋35.97.
(3)当x＝73时，＝0.464 6×73＋35.97≈69.9.
所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．
独立性检验
【例3】 为了研究人的性别与患色盲是否有关系，某研究所进行了随机调查，发现在调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为人的性别与患色盲有关系吗？
[解] 由题意列出2×2列联表：
患色盲
未患色盲
合计
男性
39
441
480
女性
6
514
520
合计
45
955
1 000
由公式得χ2的观测值
χ2＝≈28.225.
因为P(χ2≥10.828)≈0.001，且28.225>10.828，
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患色盲与人的性别有关系，男性患色盲的概率要比女性大得多．
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式计算χ2；
(3)比较χ2与临界值的大小关系作统计推断．
3．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：
种子灭菌
种子未灭菌
合计
黑穗病
214
175
389
无黑穗病
451
597
1 048
合计
665
772
1 437
能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为种子灭菌与小麦黑穗病有关系？
[解] 提出假设H0：假设种子灭菌与黑穗病没有关系．根据列联表中的数据知，
a＝214，b＝175，c＝451，d＝597，a＋b＝389，c＋d＝1 048，a＋c＝665，b＋d＝772，n＝1 437，
代入公式求得
χ2＝
＝≈16.373，
由于16.373>10.828，所以能够在犯错误的概率不超过0.001的条件下，认为种子灭菌与小麦黑穗病有关系．
课件31张PPT。第3章 统计案例章末复习课23线性回归直线方程 4567891011121314回归分析 15161718192021222324独立性检验 252627282930Thank you for watching !章末综合测评(三) 统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列变量之间的关系不是相关关系的是( )
A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生频次
D．每亩用肥料量和粮食亩产量
A [函数关系是一种确定关系，并不是相关关系．]
2．已知回归直线方程＝x＋，其中＝3且样本点的中心为(1,2)，则回归直线方程为( )
A.＝x＋3 B.＝－2x＋3
C.＝－x＋3 D.＝x－3
C [回归直线一定经过样本点的中心，因此，将(1,2)代入方程＝x＋3，求得＝－1，故回归直线方程为＝－x＋3.]
3．下列说法中错误的是( )
A．如果变量x与Y之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)将散布在某一条直线的附近
B．如果两个变量x与Y之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能写出一个线性方程
C．设x，Y是具有相关关系的两个变量，且Y关于x的线性回归方程为＝bx＋a，b叫做回归系数
D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量Y与x之间是否存在线性相关关系
B [任何一组(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都能写出一个线性方程，只是有的无意义．]
4．如图所示，有5组数据(x，y)，去掉哪组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大( )
A．A B．B
C．C D．D
D [去掉D点，其他四点大致分布在一条直线附近．]
5．设有一个线性回归方程为＝－2＋10x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均减少2个单位 B．y平均增加10个单位
C．y平均增加8个单位 D．y平均减少10个单位
B [10是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均增加10个单位．]
6．对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下的列联表，则统计量χ2约为( )
优秀
不优秀
合计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
合计
19
71
90
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
A [本题考查独立性检验的基本公式．统计量χ2＝≈0.600，故选A.]
7．为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )
A．160 B．163
C．166 D．170
C [∵xi＝225，∴＝xi＝22.5.
∵yi＝1 600，∴＝yi＝160.
又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70.
∴回归直线方程为＝4x＋70.
将x＝24代入上式得＝4×24＋70＝166.
故选C.]
8．某商家推出一款6寸手机，现对500名该手机的使用者进行调查，要求使用者对手机进行评分，评分不低于70分就表示该用户对手机认可，否则就表示不认可，调查结果用列联表表示如下：
女性用户
男性用户
合计
认可手机
60
140
200
不认可手机
120
180
300
合计
180
320
500
则下列结论正确的是( )
A．有99%的把握认为认可手机与性别有关
B．有99%的把握认为认可手机与性别无关
C．有95%的把握认为认可手机与性别有关
D．有95%的把握认为认可手机与性别无关
C [由列联表中的数据可得χ2＝≈5.208，因为3.841<5.208<6.635，所以有95%的把握认为认可手机与性别有关．]
9．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是( )
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
C [因为成绩优秀的概率为，所以成绩优秀的学生数是105×＝30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A，B错误．又根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109>3.841.
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．]
10．通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：
男
女
合计
爱好
10
40
50
不爱好
20
30
50
合计
30
70
100
其中χ2＝
则下列结论正确的是( )
A．有95%的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”
B．有95%的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”
C．有97.5%的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”
D．有97.5%的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”
A [由题意得，
χ2＝≈4.762>3.841，
又因为P(χ2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”．]
11．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；
③已知回归直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0 B．1
C．2 D．3
D [能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线＝x＋才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，∴③正确；④正确．]
12．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
D [由回归方程为＝0.85x－85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知＝x＋＝x＋－(＝－)，所以回归直线过样本点的中心(，)；利用回归方程可以估计总体，D不正确．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．观察图中各图形：
其中两个变量x，y具有相关关系的图是________．
③④ [由散点图知③④具有相关关系．]
14．已知x，y的取值如下表，如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为＝x＋，则＝________.
x
2
3
4
y
6
4
5
－ [∵线性回归方程为＝x＋，
又∵线性回归方程过样本中心点，且＝＝3，＝＝5，∴回归方程过点(3,5)，
∴5＝3＋，
∴＝－.]
15．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是__________．
表1
成绩
性别
不及格
及格
合计
男
6
14
20
女
10
22
32
合计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
合计
男
4
16
20
女
12
20
32
合计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
合计
男
8
12
20
女
8
24
32
合计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
合计
男
14
6
20
女
2
30
32
合计
16
36
52
阅读量 [计算χ＝，令＝m，则χ＝82m，χ＝m×(4×20－12×16)2＝1122m，χ＝m×(8×24－8×12)2＝962m，χ＝m×(14×30－6×2)2＝4082m，∴χ>χ>χ>χ，则与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．]
16．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间Y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．
68 [由表知＝30，设模糊不清的数据为m，则＝(62＋m＋75＋81＋89)＝，因为＝0.67＋54.9，即＝0.67×30＋54.9，解得m＝68.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动．某潜水中心调查了100名男性和100名女性下潜至距离水面5米时是否会耳鸣，得到下面的2×2列联表．
有耳鸣
无耳鸣
合计
男
30
70
100
女
50
50
100
合计
80
120
200
利用独立性检验的方法判断耳鸣与性别是否有关系？若有关系，所得结论的把握有多大？
[解] 提出假设H0：耳鸣与性别没有关系．
∵χ2＝≈8.33>7.897.
∴可以判断耳鸣与性别是有关系的．
∵P(χ2>7.879)≈0.005.
∴我们有99.5%的把握认为耳鸣与性别有关．
18．(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(t)与相应的能耗y(t)的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋.
[解] (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．
(2)由对照数据，计算得
x＝86，＝＝4.5，
＝＝3.5，
xiyi＝66.5，
＝
＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
19．(本小题满分12分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性与对待企业改革的态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查．其中积极支持企业改革的被调查者中，工作积极的有54人，工作一般的有32人；而不太赞成企业改革的被调查者中，工作积极的有40人，工作一般的有63人．试判断员工对待企业改革的态度是否与其工作积极性有关．
[解] 提出假设H0：员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关．
由题意得，如下2×2列联表：
积极支持
企业改革
不太赞成
企业改革
合计
工作积极
54
40
94
工作一般
32
63
95
合计
86
103
189
根据列联表中的数据，可得
χ2＝≈10.759.
因为χ2≈10.759>7.879，
所以有99.5%的把握认为，员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关．
20．(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月
1日
12月
2日
12月
3日
12月
4日
12月
5日
温差x (℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
[解] (1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．
基本事件总数为10，事件包含的基本事件数为4.
∴P()＝＝，
∴P(A)＝1－P()＝.
(2)＝12，＝27，xiyi＝977，x＝434，
∴＝＝＝2.5，
＝－＝27－2.5×12＝－3，
∴＝2.5x－3.
(3)由(2)知，当x＝10时，＝22，误差不超过2颗；
当x＝8时，＝17，误差不超过2颗．
故所求得的线性回归方程是可靠的．
21．(本小题满分12分)假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下表的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y与x呈线性相关关系．
(1)试求线性回归方程＝x＋a的回归系数与常数项；
(2)估计使用年限为10年，则维修费用是多少万元？
[解] (1)由已知条件制成下表：
序号
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
x
4
9
16
25
36
90
＝4，＝5，
＝90，iyi＝112.3
于是b＝＝＝1.23，
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
(2)由(1)知线性回归方程是y＝1.23x＋0.08，当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)．
即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
22．(本小题满分12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积x(m2)
115
110
80
135
105
销售价格y(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
[解] (1)散点图如图所示：
(2)＝i＝109，(xi－)2＝1 570，
＝23.2，(xi－)(yi－)＝308.
设所求线性回归方程为y＝bx＋a，
则＝≈0.196 2，
＝－＝23.2－×109≈1.816 6.
故所求线性回归方程为y＝0.196 2x＋1.816 6.
(3)据(2)可知，当x＝150 m2时，销售价格的估计值为
y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
