1.1 两个基本计数原理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握分类计数原理与分步计数原理．(重点)
2．会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题．(难点)
通过对两个基本计数原理的学习，发展数学抽象、逻辑推理素养.
1．分类计数原理
如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步计数原理
如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
思考：分类计数原理与分步计数原理有何区别？
[提示] 两个计数原理最大的区别是：完成这件事是分类还是分步．分类计数原理中每一类方法都能独立地完成这件事，具有“独立性”，而分步计数原理则是完成一件事分几步，而每一步中的每种方法不能独立完成这件事，每一步中的方法“分步互依”．
1．某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、52人，从中选一人担任学生会主席，不同选法的种数为( )
A．100 B．102
C．152 D．50
C [这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．依分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．]
2．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
B [完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法．所以根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同的搭配法．]
3．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)
96 [分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)．根据分类计数原理得，共有方案48＋48＝96(种)．]
分类计数原理
【例1】 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
[思路探究] (1)按所选组长来自不同班为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．
[解] (1)分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
(2)法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
1．应用分类计数原理解题的策略
(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．
(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．
(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．
2．利用分类计数原理解题的一般思路
1．(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．
(1)C (2)15 [(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.
(2)有3类不同方案：
第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；
第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；
第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．
其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．]
分步计数原理
【例2】 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?
[思路探究] 根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理．
[解] 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．
1．应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
2．利用分步计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；
(2)计数：求出每一步中的方法数；
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？
[解] 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；
第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．
由分步计数原理，得2×3＝6种．
两个计数原理的辨析
[探究问题]
1．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？
[提示] “完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．
2．在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？
[提示] 要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事．
3．在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类计数原理和分步计数原理求解吗？你能说明分类计数原理与分步计数原理的主要区别吗？
[提示] 5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.
利用分类计数原理求解：
以选用5种不同的素菜分类：
选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐．
利用分步计数原理求解：
第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；
第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．
由分步计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐．
两个计数原理的主要区别在于分类计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事．
【例3】 有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
[思路探究] 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．
[解] 第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；
第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；
第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；
第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．
1．能用分步计数原理解决的问题具有如下特点
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
(2)完成每一步有若干种方法；
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
2．利用分步计数原理应注意
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．
(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．
3．一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
[解] (1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．
根据分类计数原理，共有10＋12＝22种取法．
(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步计数原理，共有10×12＝120种取法．
1．本节课的重点是分类计数原理和分步计数原理，难点是两个计数原理的灵活应用．
2．分类计数原理与分步计数原理的比较
分类计数原理
分步计数原理
区别一
完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每一类办法都能独立地完成这件事
只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，分类要做到“不重不漏”
各步之间是关联的、独立的，分步要做到“步骤完整”
联系
两个原理都可用来计算完成某件事的方法种数，最终目的都是完成某件事
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )
(3)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
[解析] (1)× 在分类计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．
(2)√ 在分类计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事．
(3)√ 因为在分步计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．
(4)× 因为在分步计数原理中，要完成某件事需分几个步骤，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
B [分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]
3．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．
9 [分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．]
4．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
[解] (1)小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法．
(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)
第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法．
课件44张PPT。第1章 计数原理1.1 两个基本计数原理m1＋m2＋…＋mn m1×m2×…×mn 分类计数原理 分步计数原理 两个计数原理的辨析 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 两个基本计数原理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )
A．96种 B．24种
C．120种 D．12种
A [先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．]
2．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成通路的条数为( )
A．8条 B．6条
C．5条 D．3条
B [从A到B接通，分两步：第一步有2种方法，第二步有3种方法，所以可构成通路的条数为2×3＝6条．选B.]
3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
C [分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．]
4．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )
A．8本 B．9本
C．12本 D．18本
D [完成这件事可以分为三步，第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.]
5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有( )
A．18条 B．20条
C．25条 D．10条
A [第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．]
二、填空题
6．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．
8 [建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步计数原理得映射有2×2×2＝8(个)．]
7．用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有______种．
A
B
C
D
72 [按A，B，C，D顺序涂色，共有4×3×2×3＝72种方法．]
8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
20 [分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；
若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；
若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．
所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．]
三、解答题
9．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
[解] (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定方法；
第二步确定b的值，也有6种确定方法．
根据分步计数原理，得知P可表示平面上的点数是6×6＝36(个)．
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．
由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6(个)．
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.
因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．
结合(1)得，不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．
10．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个？
(1)无重复数字的三位数？
(2)可以有重复数字的三位数？
[解] (1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．
(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．
由分步计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．
[能力提升练]
1．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
D [由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．]
2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
D [分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．]
3．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有___________种．
1
2
3
3
1
2
2
3
1
12 [假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法．
故不同的填写方法共有6×2＝12(种)．]
4．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．
48 [与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有＝48对．]
5．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．
(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．
[解] (1)如图，由题意知，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，则A，C必须颜色相同，B，D必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60(种)．
(2)法一 由题意知，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B，D颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法．根据分步计数原理，共有2×120＝240(种)不同的涂法．
法二 分两类．
第一类，C与A颜色相同．由题意知，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×1×2＝120(种)方法；
第二类，C与A颜色不同．由题意知，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×2×1＝120(种)方法．
由分类计数原理，共有120＋120＝240(种)不同的方法．
