1.5 二项式定理
1.5.1 二项式定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题．(重点)
2．利用二项展开式求特定项或项的系数．(难点)
3．二项式系数与项的系数的区别与联系．(易混点)
1.借助二项式定理的证明，提升逻辑推理素养．
2．通过一般性运算，发展数学运算素养.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理．
2．二项展开式的通项和二项式系数
(1)(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中Can－rbr叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Can－rbr.
(2)C(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．
1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
B [(x＋1)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，所以n＝10.]
2．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
D [含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.]
3．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________．
40 10 [(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为C22＝40，第3项的二项式系数为C＝10.]
二项式定理的正用、逆用
【例1】 (1)用二项式定理展开5；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
[思路探究] (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
[解] (1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．
1．(1)求4的展开式；
(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.
[解] (1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3
·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.
二项式系数与项的系数问题
【例2】 (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
[思路探究] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
[解] (1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1
＝C(2)6－r·r
＝(－1)rC·26－r·xr，
∴T6＝－12·x.
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.
(2)Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，
∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.
1．二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝
C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[解] T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26?n＝8.
∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1 120x4.
设第k＋1项系数最大，则有
∴5≤k≤6.
∴k＝5或k＝6(∵k∈{0,1,2，…，8})．
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
求展开式中的特定项
[探究问题]
1．如何求4展开式中的常数项．
[提示] 利用二项展开式的通项Cx4－r·＝Cx4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以4展开式中的常数项为C＝＝6.
2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？
[提示] (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．
3．如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？
[提示] (2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.
【例3】 已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路探究] →
→→→
→→
→
[解] 通项公式为：
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
(1)207 (2)4 [(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
(2)6的展开式的通项是Tk＋1＝Cx6－k(－)k·x－2k＝
Cx6－3k(－)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ca，
根据已知得Ca＝60，解得a＝4.]
1．本节课的重点是二项式定理及利用二项式定理求二项展开式的特定项或特定项的系数，难点是利用二项式定理的综合应用．
2．本节课的易错点是项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析：
(1)二项展开式的二项式系数是指C，C，…，C这些组合数，即二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr中的C(0≤r≤n，r∈N)．求二项展开式中某一项的二项式系数，关键是要确定r的值，要注意通项为展开式的第r＋1项．(2)系数即该项字母前的数连同符号，求二项展开式的指定项的系数，可直接运用展开式的通项公式，并令该项的次数与指定项的次数相等，求出r的值，则指定项的系数就是把r代入组合数式和常数式的乘积计算后所得的值．
(3)项是指系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置．
(4)二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )
[解析] (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．
(2)× 因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项
Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．
(3)× 因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．
(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．在10的二项展开式中，x4的系数为( )
A．－120 B．120
C．－15 D．15
C [Tr＋1＝Cx10－rr＝r·Cx10－2r，令10
－2r＝4，则r＝3.所以x4的系数为3C＝－15.]
3．在9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．
84 － [Tk＋1＝C·(x2)9－k·k＝k·C·x18－3k，当k＝3时，T4＝3·C·x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，项的系数为－.]
4．求5的展开式的第三项的系数和常数项．
[解] T3＝C(x3)32＝C·x5，所以第三项的系数为C·＝.
通项Tk＋1＝C(x3)5－kk＝k·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，
所以常数项为T4＝C(x3)2·3＝.
课件40张PPT。第1章 计数原理1.5 二项式定理
1.5.1 二项式定理n＋1 r＋1 二项式定理的正用、逆用 二项式系数与项的系数问题 求展开式中的特定项 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) 二项式定理
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．(x－1)3 B．(x－2)3
C．x3 D．(x＋1)3
C [S＝[(x－1)＋1]3＝x3.]
2．已知7的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A． B．－
C．7 D．－7
B [T4＝Cx43＝5，则x＝－.]
3．(1－x)33展开式中常数项是( )
A．－20 B．18
C．20 D．0
C [(1－x)33＝，要求原式的常数项，即求－(1－x)6中x3的系数，Tr＋1＝－C(－x)r，所以r＝3，所以C＝20.]
4．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
B [Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rx，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．]
5．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为( )
A. B.
C. D.
B [由二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15,23Cxn－3＝，可得n＝6，x＝，选B.]
二、填空题
6．在(1＋x)6·(1－x)4的展开式中，x3的系数是________．
－8 [(1＋x)6·(1－x)4＝(1＋x)2·(1＋x)4·(1－x)4＝(1＋2x＋x2)(1－x2)4.
∴x3的系数为2·C·(－1)＝－8.]
7．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
56 [因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－rr＝Cx8－2r，令8－2r＝－2，解得r＝5，所以T6＝C2，所以的系数为C＝56.]
8．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
2 [对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax)r＝C(－a)r·x，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.]
三、解答题
9．在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
[解] (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值．
[解] (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，
∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18，
(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为
t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n.
∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，
∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n
＝16n2－148n＋612
＝16，
∴当n＝时，t取最小值，但n∈N*，
∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.
[能力提升练]
1．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
C [Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．]
2．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为( )
A．－19 B．19
C．20 D．－20
C [n的通项公式为Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.]
3.3展开式中的常数项是________．
－20 [3＝，在(1－|x|)6中，|x|3的系数A＝C(－1)3＝－20.即所求展开式中常数项是－20.]
4．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
2 [Tr＋1＝C(ax2)6－r·r＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以
Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.]
5．已知n的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．
[解] ∵Tr＋1＝C·x·2r·x ＝C·2r·x ，
据题意，C＋C·2＋C·22＝129，解得n＝8，
∴Tr＋1＝C·2r·x，且0≤r≤8.
由于＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．
又＝4－，∴当r＝0或r＝6时，∈Z，
即展开式中存在有理项，它们是：
T1＝x4，T7＝26·C·x－1＝.
