1.5.2 二项式系数的性质及应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别．(重点)
2．借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值．(难点)
借助杨辉三角研究二项式系数的性质，提升数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.
1．杨辉三角的特点
(1)每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…….
(2)图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．
(3)图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．
(4)第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，……，第7行的各数之和为26(如图)．
2．二项式系数的性质
(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：
(1)C＝C；
(2)C＋C＝C；
(3)当r<时，C时，C(4)C＋C＋…＋C＝2n.
思考1：杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？
[提示] 杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.
思考2：二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？
[提示] 错误．二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．
1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )
A．11 B．10
C．9 D．8
D [因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8.]
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第______行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
34 [设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，
则3C＝2C，即＝，
解得n＝34.]
3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．
5 [二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5.]
与“杨辉三角”有关的问题
【例1】 如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
[思路探究] 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.
[解] S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.
“杨辉三角”问题解决的一般方法
观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：
1．如图所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．
46 [由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.]
二项式系数和的问题
【例2】 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和．
(2)各项系数之和．
(3)所有奇数项系数之和．
[解] 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即所有奇数项系数之和为.
1．(改变问法)典例中条件不变，问法改为求系数绝对值的和．
[解] 法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|，即为(2x＋3y)9展开式中各项系数之和，
令x＝1，y＝1得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
2．(变换条件、改变问法)将本例二项式改为(2x＋3y)n，其展开式中各项的系数之和为515，试求展开式二项式系数的和．
[解] 设(2x＋3y)n＝a0xn＋a1xn－1y＋a2xn－2y2＋…＋anyn.令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(2＋3)n＝5n＝515，解得n＝15，展开式二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝215.
1．解决二项式系数和问题思维流程
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
二项式系数性质的综合应用
[探究问题]
1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
[提示] 对称性，因为C＝C，也可以从f(r)＝C的图象中得到．
2．计算，并说明你得到的结论．
[提示] ＝.
当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．
3．二项式系数何时取得最大值？
[提示] 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值．
【例3】 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
[解] 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·x(5＋2r)．
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
∴
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
2．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
[解] 由5，得
Tr＋1＝C5－rr＝5－r·C·x，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，
由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54，所以a＝±.
1．本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用．
2．要掌握二项式系数性质的三个应用：
(1)求二项展开式中系数或二项式系数的最大项，
(2)求展开式的系数和，
(3)二项式系数性质的应用．
3．要重点关注以下几个易错点．
(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．
(2)一般地，二项展开式f(x)中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为[f(1)＋f(－1)]，偶数项系数和为[f(1)－f(－1)]．
(3)“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
C [该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．]
2．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于( )
A．64 B．32
C．63 D．31
B [C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.]
3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.
1 [(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCa5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.]
4．在8的展开式中，
(1)求系数的绝对值最大的项；
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项．
[解] Tr＋1＝C()8－rr＝(－1)rC2rx4－.
(1)设第r＋1项系数的绝对值最大．
则∴
解得5≤r≤6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
所以T5＝C·24·x4＝1 120x－6.
(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11.
(4)系数最小的项为
T6＝(－1)5C·25x＝－1 792x.
课件45张PPT。第1章 计数原理1.5 二项式定理
1.5.2 二项式系数的性质及应用234相等 相等 和 增大 52 22 1＝20 26 6< < 2n 78910111213与“杨辉三角”有关的问题 141516171819二项式系数和的问题 202122232425二项式系数性质的综合应用 26272829303132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
二项式系数的性质及应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为( )
A．第六项 B．第七项
C．第八项 D．第九项
C [展开式中共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数，故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．]
2．已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是( )
A．5 B．20
C．10 D．40
C [根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，
令10－3r＝1，解得r＝3，
所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.]
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数和是( )
A．2n＋1 B．2n＋1＋1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
D [令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.]
4．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于
( )
A．2n B.
C．2n＋1 D.
D [令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n， ①
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n， ②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，
∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.]
5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为( )
A. B.
C. D.
A [由题意得a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.]
二、填空题
6．233除以9的余数是________．
8 [233＝811＝(9－1)11＝911－C910＋C98－…－1，
∴233除以9的余数是8.]
7.如图，在“杨辉三角”中，斜线l的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{an}，则a21＝________.
66 [此数列依次为C；C，C；C，C；C，C；…；C，C；…；a21＝C＝＝66.]
8．设(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2的值为________．
1 [令(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1得A＝a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，
令x＝－1得B＝a0－a1＋a2－…＋a10＝(＋1)10，所以(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝A·B＝[(＋1)(－1)]10＝[()2－1]10＝1.]
三、解答题
9．已知(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99的值．
[解] 令x＝2，可以得到5100＝a0＋a1＋a2＋…＋a100， ①
令x＝0，可以得到1＝a0－a1＋a2－…＋a100， ②
由①—②得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(5100－1)．
10．已知n的展开式中的倒数第三项的系数是45.
(1)求含x3的项；
(2)求系数最大的项．
[解] 已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C＝45，即C＝45，所以n2－n－90＝0，解得n＝－9(不合题意，舍去)或n＝10.
(1)即求10展开式中含x3的项．
由通项Tr＋1＝C(x－)10－r(x)r＝Cx，得－＋＝3，－30＋3r＋8r＝36,11r＝66，得r＝6.
故含有x3的项是第7项T7＝Cx3＝210x3.
(2)∵10的展开式共有11项，系数最大项是第6项．∴T6＝
C(x)5·(x)5＝252x.
[能力提升练]
1．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为( )
A．71 B．70
C．21 D．49
B [因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为C(－2)2＋C(－2)＝70，故选B.]
2．若(1－2x)2 019＝a0＋a1x＋…＋a2 019x2 019(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
C [令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－a0，
再令x＝0得a0＝1，
所以＋＋…＋＝－a0＝－1.]
3．设m是正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.
6 [由题意可知13C＝7C，
∴13·＝7·，
∴m＝6.]
4．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
62 [根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，
使得连续三项C，C，C，有＝且＝.
化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．]
5．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和．
[解] (1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝2＋.
因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次项的系数之和为30.
