2.1 随机变量及其概率分布
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)
2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)
1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．
2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.
1．随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．
思考1：随机变量是自变量吗？
[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．
思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．
2．概率分布列
假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1,2，…，n)满足条件：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？
[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．
思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？
[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．
思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？
[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．
3．两点分布
如果随机变量X的分布表为
X
1
0
P
p
q
其中0
1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上的次数或反面向上的次数
D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和
B [掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．]
2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
2
3
P
0.10
0.20
0.10
0.20
0.40
则P(ξ<1.5)＝________.
0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.]
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．
[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝.]
随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；
(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2019年6月1日济南到北京的某次列车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
[思路探究] 利用随机变量的定义判断．
[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)
①某人掷硬币1次，正面向上的次数；
②某音乐网站歌曲《小苹果》每天被点播的次数；
③标准大气压下冰水混合物的温度；
④你每天早晨起床的时间．
(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.
(1)①②④ (2){0,1,2,3,4} k 4－k [(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．
(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.
{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]
随机变量的分布列及应用
【例2】 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的概率分布．
[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大号码只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．
[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.
当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝＝；
当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝＝；
当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝＝＝.因此，ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
2．设随机变量ξ的概率分布为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：
(1)常数a的值；
(2)P；
(3)P.
[解] 题目所给的ξ的概率分布表为
ξ
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝或P＝1－P＝1－＝.
(3)因为<ξ<，所以ξ＝，，.
故P＝P＋P＋P
＝a＋2a＋3a＝6a＝6×＝.
随机变量的可能取值及试验结果
[探究问题]
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
[提示] X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？
[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．
【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
[思路探究] →→
[解] (1)设所需的取球次数为X，则
X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.
X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；
X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；
X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；
X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；
X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；
X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；
X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；
X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；
X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．
用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)ξ可能取值为0,1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．
2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：
(1)试验在相同条件下是否可以重复；
(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；
(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．
3．本节课的易错点：
在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1，而且要注意0≤pi≤1，i＝1,2，…，n.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )
(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )
[解析] (1)√ 因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．
(2)× 因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．
(3)× 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．
(4)√ 由分布列的性质可知，该说法正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．下列叙述中，是随机变量的为( )
A．某人早晨在车站等出租车的时间
B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度
C．射击十次，命中目标的次数
D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性
C [根据随机变量的含义可知，选C.]
3．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________.
0 0.55 [由分布列的性质得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.]
4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．
[解] 随机变量X可取的值为2,3,4，
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
所以随机变量X的概率分布列为：
X
2
3
4
P
课件45张PPT。第2章 概率2.1 随机变量及其概率分布变量 变量 概率分布列 pi≥0 1 两点分布 随机变量的概念 随机变量的分布列及应用 随机变量的可能取值及试验结果 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 随机变量及其概率分布
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某人1小时内接到的电话次数X是一个随机变量；④1天内的温度Y是一个随机变量．其中是离散型随机变量的为( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
C [①中经过的车辆数和③中接到的电话次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的X是一个离散型随机变量．]
2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )
A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z
D [两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5](X∈Z)．]
3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
A [A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选A.]
4．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A．－0.2 B．0.2
C．0.1 D．－0.1
B [由随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.]
5．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( )
A. B.
C. D.
A [根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.]
二、填空题
6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的概率分布为________．
[答案]
ξ
0
1
P
0.3
0.7
7．若随机变量X～0-1分布，P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝a，则a＝________.
[∵解得a＝.]
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
X
0
2
3
P
a
b
c
则这名运动员得3分的概率是________．
[由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.]
三、解答题
9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数为X；
(2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和为X.
[解] (1)X可取0,1,2,3.X＝i表示取出i支白粉笔，(3－i)支红粉笔，其中i＝0,1,2,3.
(2)X可取3,4,5,6,7.X＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．
10．已知随机变量ξ的概率分布为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
(1)求η1＝ξ的概率分布；
(2)求η2＝ξ2的概率分布．
[解] (1)η1＝ξ的概率分布为
η1
－1
－
0
1
P
(2)η2＝ξ2的概率分布为
η2
0
1
4
9
P
[能力提升练]
1．随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝( )
A. B.
C. D.
B [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.]
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
则q为( )
A．1 B．1±
C．1＋ D．1－
D [由分布列性质知＋1－2q＋q2＝1，
解得q＝1±，又由分布列性质知1－2q≥0，
∴q≤，∴q＝1－，故选D.]
3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
0．8 [由Y＝－2，得3X－2＝－2，X＝0.
∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.]
4．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是________．
[设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，
故a＝，
由
解得－≤d≤.]
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝，i＝1,2,3,4，求：
(1)P(ξ＝1或ξ＝2)；
(2)P.
[解] (1)∵P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
∴P(ξ＝1或ξ＝2)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝＝0.3.
(2)ξ＝1,2,3,4，又<ξ<，故只有ξ＝1,2,3适合，所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＋＝0.6.
