2.2 超几何分布
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(重点)
2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布，从而利用相关公式解题．(难点)
1.通过超几何分布的学习，培养数学抽象素养．
2．借助超几何分布的求解，提升数学运算素养.
超几何分布的概率及其表示
一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N)．
思考1：如何识别超几何分布？
[提示] 超几何分布必须满足以下两条：
①总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，其余的N－M件为乙类(或正品)．
②随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数．
思考2：在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？
[提示] 不放回抽样．
思考3：在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M吗？
[提示] 不一定．当n≥M时，最大值为M，当n1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( )
A. B.
C. D.
C [根据题意知该问题为古典概型，所以P＝＝.]
2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.
，r＝0,1,2,3,4 [P(X＝r)＝，r＝0,1,2,3,4.]
3．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________．
[由题意，这是一道超几何分布题，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝＝.]
超几何分布的辨析
【例1】 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；
(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；
(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．
[思路探究] →
→
[解] (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．
1．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
2．超几何分布中，r，n，M，N均为有限数，且r≤min(n，M)．
1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)
①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；
②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.
①② [根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．]
超几何分布的概率
【例2】 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
(1)求7名学生中甲班的学生数；
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．
[思路探究] (1)利用古典概型求解．
(2)借助超几何分布的概率公式求解．
[解] (1)设甲班的学生人数为M，则
＝.
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．
∴7名学生中甲班的学生共有3人．
(2)由题意可知，ξ～H(2,3,7)，
∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＋
＝＋
＝.
求解此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型求解，否则借助相应概率公式求解．
2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美的小礼品；如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试一试，那么他能获得精美小礼品的概率是多少？能获赠一套丛书的概率又是多少？
[解] 设X表示抽取5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则X服从参数为N＝10，M＝5，n＝5的超几何分布．
X的可能取值为0,1,2,3,4,5，则X的分布列为
P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3,4,5)．
若要获得精美小礼品，只需X≥2，故获得精美小礼品的概率为P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－－＝.
若要获赠一套丛书，必须X＝5，故获赠一套丛书的概率为P(X＝5)＝＝.
两点分布与超几何分布
[探究问题]
1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？
[提示] 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示] 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X
2
5
P
0.3
0.7
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
3．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？
[提示] 随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．
【例3】 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
[思路探究] (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．
[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．两点分布的几个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
2．解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．
[解] 设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.
P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝，
P(X＝11)＝＝.
故X的分布列为
X
3
7
11
P
1．本节课的重点是超几何分布的概念及应用，难点是把具体问题抽象成超几何分布模型．
2．超几何分布的数学模型是：一批产品共有N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品X＝r的概率是P(X＝r)＝.在应用上述公式时，要注意N、M、n、r的实际意义.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)超几何分布的总体中只有两类物品．( )
(2)在产品检验中，超几何分布描述的是有放回抽样．( )
(3)若X～H(n，M，N)，则n≤M.( )
(4)超几何分布X～H(n，M，N)中n是随机一次取出的样本容量，M是总体中不合格产品的总数，N是总体中的个体总数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________.
[P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝＋＋＝.]
3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则
当X取________时，对应的概率为.
3 [由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出“从5名三好生中选取了3名”．]
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
[解] (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.
所以，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
课件43张PPT。第2章 概率2.2 超几何分布X～H(n，M，N) 超几何分布的辨析 超几何分布的概率 两点分布与超几何分布 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七) 超几何分布
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
B [由超几何分布的概念知③④符合，故选B.]
2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为
( )
A. B.
C. D.
C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为.]
3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
B [结合题意，当X＝1时，P(X＝1)＝，
当X＝0时，P(X＝0)＝，
故P(X≤1)＝.]
4．从含2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为X，则X的分布列为( )
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
A
X＝k
1
2
3
P(X＝k)
B
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
C
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
D
A [X的所有可能取值为0,1,2，“X＝0”表示入选3人全是男生，
则P(X＝0)＝＝，
“X＝1”表示入选3人中恰有1名女生，
则P(X＝1)＝＝，
“X＝2”表示入选3人中有2名女生，
则P(X＝2)＝＝.
因此X的分布列为
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
]
5．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好取1名女生的概率为，则a＝( )
A．1 B．2或8
C．2 D．8
B [由题意，得＝，解得a＝2或a＝8.]
二、填空题
6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．
[设抽取的两件产品中次品的件数为X，
则P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
∴P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.]
7．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
15 [用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.]
8．某班班委会由5名女生和4名男生组成，现要从中任选3人参加一项公益活动，所选3人中男生人数ξ的分布列为________．
ξ
0
1
2
3
P
[ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
]
三、解答题
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
[解] (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，X～H(3,6,10)．
则P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的概率分布；
(2)求得分大于6分的概率．
[解] (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.
∴P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝.
故所求概率分布为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量X的概率分布，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
[能力提升练]
1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为
( )
A. B.
C. D.
C [因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝4，即旧球的个数增加一个，所以取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，所以P(X＝4)＝＝.]
2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有( )
A．2本 B．3本
C．4本 D．5本
C [设语文课本有n本，则数学课本有(7－n)本(n≥2)，则2本都是语文课本的概率是＝.所以n2－n－12＝0，所以n＝4或n＝－3，所以n＝4.]
3．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．
0．2 [剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P＝＝＝0.2.]
4．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为________．
[由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有×5＝2人．设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从超几何分布H(2,2,5)，故P(X＝1)＝＝.]
5．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的概率分布．
[解] (1)设任取一件产品是二等品的概率为p，依题意有P(A)＝p2＝0.04，解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)．
故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.
(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
P
