2.3.2 事件的独立性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)
2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)
3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)
1.借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽样素养．
2．通过具体的实际问题，培养数学建模素养.
1．事件的独立性的概念
(1)概念：若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立．
(2)含义：P(A|B)＝P(A)说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．
2．相互独立事件的概率计算
如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么
(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
思考1：不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
[提示] 相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件没有影响．
思考2：必然事件与任何一个事件相互独立吗？
[提示] 相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
思考3：如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？
[提示] 正确．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，那么事件A与B，A与间的关系是( )
A．A与B，A与均相互独立
B．A与B相互独立，A与互斥
C．A与B，A与均互斥
D．A与B互斥，A与相互独立
A [因为是有放回地摸球，所以事件A的发生不会影响事件B的发生，所以A与B，A与均相互独立．]
2．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．
[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝.]
3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
0．24 0.96 [三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.
三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04.
三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.]
相互独立事件的判断
【例1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[思路探究] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义进行判断．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．
[解] A＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，
B＝{第二颗骰子出现2,4,6点}．
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝，
∴P(AB)＝P(A)P(B)，
∴事件A，B相互独立．
相互独立事件发生的概率
【例2】 面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
[思路探究] →
→
[解] 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)他们都失败即事件 同时发生．
故P( )＝P()P()P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝
＝××＝.
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P( )＝1－＝.
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
[解] 记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝×＝.
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.
事件的相互独立性与互斥性
[探究问题]
1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件B与A呢？
[提示] 事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件．
2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？
[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝B＋A.
所以P(C)＝P(B＋A)＝P(B)＋P(A)
＝P()·P(B)＋P(A)·P()
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
3．由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？
[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算
公式
P(AB)＝P(A)·P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
【例3】 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．
[思路探究] 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．
[解] 设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ，E ，F，以上3个事件彼此互斥且独立．
所以红队有且只有一名队员获胜的概率为
P1＝P(D ＋E ＋F)＝P(D)＋P(E )＋P(F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE ，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE )＋P(D F)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件 ，且P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P( )＝1－0.35－0.1＝0.55.
1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：
P0＝( )＝P()·P()·P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．
1．本节课的重点是事件的相互独立性及其概率的求法，难点是事件相互独立性的判断．
2．要掌握事件相互独立性的两个问题．
(1)事件相互独立性的判断．
(2)事件相互独立性概率的求法．
3．求复杂事件概率的步骤：
(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立；( )
(2)若事件A，B相互独立，则P(∩)＝P()·P()；( )
(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；( )
(4)若事件A与B相互独立，则B与相互独立．( )
[解析] 若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以(1)正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故(2)正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故(3)正确；(4)B与相互对立，不是相互独立，故(4)错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是( )
A．互斥事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．不相互独立事件
C [由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(A∩B)＝，满足P(A∩B)＝P(A)·P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.]
3．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
[加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.]
4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝.
课件47张PPT。第2章 概率2.3 独立性
2.3.2 事件的独立性234P(A) B A P(AB)＝P(A)P(B) 5A B 67891011相互独立事件的判断 121314151617相互独立事件发生的概率 1819202122232425事件的相互独立性与互斥性 262728293031323334353637383940414243444546点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 事件的独立性
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．
这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
C [①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝，P(N)＝.即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝，P(N)＝，P(M∩N)＝，P(M∩N)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件．]
2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B.
C. D.
A [“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝＝，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝＝，事件A、B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝，故选A.]
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B.
C. D.
A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.]
4．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是( )
A．0.49 B．0.42
C．0.7 D．0.91
B [由题意可知，两人恰有1人击中目标有两种情况：甲击中乙没击中或甲没击中乙击中，设“恰有1人击中目标”为事件A，则P(A)＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7＝0.42.]
5．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. B.
C. D.
C [记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件，
则P()＝P(A)＋P(B)＋P()＝，则灯亮的概率为P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－＝.]
二、填空题
6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为________．
0．864 [可知K，A1，A2三类元件是否正常工作相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，
所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.]
7．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
[从甲袋中任取一球是白球的概率为＝，是红球的概率为＝；从乙袋中任取一球是白球的概率为＝，是红球的概率为＝，故所求事件的概率为×＋×＝.]
8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．
0．902 [设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为，，，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
∴至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]
三、解答题
9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[解] 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．
[解] 设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.
则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(1·2·3)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(1)·P(2)·P(3)
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列为：
ξ
1
3
P
0.76
0.24
[能力提升练]
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B.
C. D.
D [由P(A∩)＝P(B∩)，得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．
又P(∩)＝，∴P()＝P()＝，∴P(A)＝.]
2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A. B.
C. D.
D [设体型合格为事件A，身体关节构造合格为事件B，A与B为独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，所以两项中至少一项合格的概率为P＝1－P()＝1－P()·P()＝1－×＝.]
3.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是________．
[由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.通过分析跳三次停在A荷叶上只有这两种情况，所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.]
4．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
0．18 [记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]
5．在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的概率分布．
[解] 设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，
则P(B)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)P()
＝××＝.
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)＝P(＋A1＋A1A2)
＝P()＋P(A1)＋P(A1A2)
＝＋×＋××＝.
(3)X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝P()＝，
P(X＝2)＝P(A1)＝×＝，
P(X＝3)＝P(A1A2)＝××＝，
P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝××＝，
所以，X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
