2.3 独立性
2.3.1 条件概率
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式．(重点)
2．利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题．(难点)
通过条件概率的学习，提升数学抽象素养.
1．条件概率
一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．若A，B互斥，则P(A|B)＝P(B|A)＝0.
2．条件概率公式
(1)一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝.
(2)乘法公式：P(AB)＝P(A|B)P(B)．
思考1：P(A|B)＝P(B|A)成立吗？
[提示] 不一定成立．一般情况下P(A|B)≠P(B|A)，只有P(A)＝P(B)时才有P(A|B)＝P(B|A)．
思考2：若P(A)≠0，则P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)，这种说法正确吗？
[提示] 正确．由P(B|A)＝得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)．
1．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )
A.1 B. C. D.
B [设事件A：第一次抛出的是偶数点；事件B：第二次抛出的是偶数点，则P(B|A)＝＝＝.]
2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________.
[由P(B|A)＝＝＝.]
3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．
[记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.]
利用P(B|A)＝求条件概率
【例1】 (1)设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．
(2)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
①求P(A)，P(B)，P(AB)；
②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
[思路探究] (1)直接应用公式P(B|A)＝求解．
(2)①利用古典概型求P(A)，P(B)及P(AB)．
②借助公式P(B|A)＝求概率．
(1)0.5 [设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B?A，故AB＝B，
于是P(B|A)＝＝＝＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.]
(2)[解] ①设x为掷红骰子得到的点数，y为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x，y)建立对应如图．
显然：P(A)＝＝，
P(B)＝＝，P(AB)＝.
②P(B|A)＝＝＝.
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
(1) (2)0.72 [(1)由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
(2)设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，
又P(A)＝0.9，P(B|A)＝，
得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72.]
利用基本事件个数求条件概率
【例2】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
[思路探究] 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．
[解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是P(AB)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即P(B|A)＝＝＝.
2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
[解] 由题意得球的分布如下：
玻璃
木质
合计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
合计
6
10
16
设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，
则P(A)＝，P(AB)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
条件概率的综合应用
[探究问题]
1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．
2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．
3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？
[提示] 设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为(B＋C)|A.
∴P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
【例3】 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
等级
数量
厂别
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1 119
次品
25
56
81
合计
500
700
1 200
(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；
(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．
[思路探究] 先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算．
(1) (2) [(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
(2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝.]
条件概率的解题策略
分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．
[解] 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)P(A|C)＝＝＝.
1．本节课的重点是条件概率的定义及条件概率的求法，难点是对条件概率定义的理解．
2．计算条件概率需要注意的问题：
(1)公式P(B|A)＝仅限于P(A)>0的情况．当P(A＝0)时，我们不定义条件概率．
(2)计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(A∩B)．
(3)条件概率是指在一定条件下发生的概率，是概率的一种，具有概率的一般性质．
(4)P(B|A)与P(A|B)不一定相等．
(5)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．( )
(3)P(B|A)≠P(A∩B)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于( )
A. B. C. D.
C [由P(B|A)＝，
得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝×＝]
3．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}．则P(B|A)＝________.
[∵P(A)＝＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝＝.]
4．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
[解] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝，P(A1B1)＝＝，所以P(B1|A1)＝＝＝.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.
课件44张PPT。第2章 概率2.3 独立性
2.3.1 条件概率事件B发生的条件下事件A P(A|B) 0 P(A|B)P(B) 利用基本事件个数求条件概率 条件概率的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 条件概率
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
B [∵P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝，∴P(B|A)＝＝.]
2．下列说法正确的是( )
A．P(B|A)
C．0B [由条件概率公式P(B|A)＝及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(A∩B)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B.]
3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
A [由题意知，P(A∩B)＝＝，P(B)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.]
4．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B.
C. D.
C [根据古典概型的概率公式求解．
∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]
5．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球(有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.1
B [根据题意，可得事件A发生的概率为P(A)＝＝，事件AB发生的概率
P(A∩B)＝＝.
所以P(B|A)＝＝.]
二、填空题
6．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为________．
19% [A＝{产品为合格品}，B＝{产品为一级品}，P(B)＝P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%.]
7．一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．
[一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，A＝“其中一个是女孩”，B＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(B|A)＝＝＝.]
8．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．
[设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C，且B与C互斥，
又P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P((B∪C)|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.]
三、解答题
9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回．求第一只是好的，第二只也是好的概率．
[解] 设Ai＝{第i只是好的}(i＝1,2)．
由题意知要求出P(A2|A1)．
因为P(A1)＝＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝.
10．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
[解] 设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1＋(A2)表示“不超过2次就按对密码”．
(1)因为事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)设“最后一位按偶数”为事件B，
则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)＝＋＝.
[能力提升练]
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
A [由题意，P(A)＝＝，P(AB)＝，
由条件概率公式得P(B|A)＝＝＝.]
2．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，在第一次闭合出现红灯的条件下，第二次闭合还出现红灯的概率是，则两次闭合都出现红灯的概率为( )
A. B.
C. D.
A [记开关第n次闭合后出现红灯为事件An，由开关第一次闭合后出现红灯的概率是，得P(A1)＝，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合还出现红灯的概率是，即P(A2|A1)＝，所以两次闭合都出现红灯的概率为P(A1∩A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝.]
3．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．
[假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××2＝.]
4．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是________．
0．2 [A＝“数学不及格”，B＝“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝0.2.
所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.]
5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
[解] 记事件A＝{从2号箱中取出的是红球}，
事件B＝{从1号箱中取出的是红球}．
P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝，P(A|)＝＝.
从而P(A)＝P(A )＋P(AB)＝×＋×＝.
即从2号箱取出红球的概率是.
