6.2 点、线、面之间的位置关系
6.2.1 平面的基本性质与推论
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)
2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)
1.通过平面概念及画法的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助平面基本性质及推论，培养逻辑推理的数学核心素养.
1．平面的基本性质及推论
公理
内容
图形
符号
基本性质1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
基本性质2
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本性质3
如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l
推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
2．异面直线
(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)
3．空间两条直线的位置关系
思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？
[提示] 不对，是不同在任何一个平面内．
1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
A [MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.]
2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
D [不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]
3．根据图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.
[答案] ∈ ? ? AC
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
(1)A∈α，B?α；
(2)l?α，m?α，m∩α＝A，A?l；
(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.
[解] (1)点A在平面α内，点B不在平面α内．
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图①②③所示．
① ② ③
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示．
3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
1.如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
[解] (1)点P∈直线AB；(2)点C?直线AB；
(3)点M∈平面AC；(4)点A1?平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB?平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
点、线共面问题
【例2】 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．
[思路探究] 四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．
[解] 已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．
证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O?d，
∴经过d与点O有且只有一个平面α.
∵A，B，C分别是d与a，b，c的交点，
∴A，B，C三点在平面α内．
由公理1知a，b，c都在平面α内，
故a，b，c，d共面．
(2)若a，b，c，d无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A，
∴经过a，b有且仅有一个平面α，
∴B，C∈α.由公理1知c?α.
同理，d?α，从而有a，b，c，d共面．
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．
证明点线共面常用的方法
?1?纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.
?2?重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.
2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．
[解] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c，l共面．
证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，
∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴A∈α，B∈α，故l?α.
又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.
同理可证l?β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.
∵过两条相交直线a，l有且只有一个平面，
故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．
法二：由法一得a，b，l共面α，也就是说b在a，l确定的平面α内．
同理可证c在a，l确定的平面α内．
∵过a和l只能确定一个平面，
∴a，b，c，l共面.
空间两直线位置关系的判定
【例3】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
[思路探究] 判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．
①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”．同理，直线AB与直线B1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．]
1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断．
2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．
3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )
A．a∥c B．a、c是异面直线
C．a、c相交 D．a、c平行或相交或异面
D [若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．]
点共线与线共点问题
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？
[提示] 如图，连接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C?平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？
[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．
【例4】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
[解] 因为MN∩EF＝Q，
所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又因为M∈直线CD，N∈直线AB，
CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN?平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF?平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
点共线与线共点的证明方法
?1?点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
?2?三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
4．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
(1)BD (2)AC [(1)若EH∩FG＝P，
那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以P∈BD.
(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.]
1．思考辨析
(1)三点可以确定一个平面．( )
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．( )
(3)四边形是平面图形．( )
(4)两条相交直线可以确定一个平面．( )
[解析] (1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．
(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
(3)错误．四边形不一定是平面图形．
(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
B [如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.]
3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
C [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]
4．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a，b，c三条直线必过同一点．
[证明] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.
由于直线a和b不平行，
∴a、b必相交．
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.
∵a?β，b?α，
∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，
∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点．
课件52张PPT。第六章 立体几何初步6.2 点、线、面之间的位置关系
6.2.1 平面的基本性质与推论234B∈α两点A∈lB∈lA∈α5P∈β不在同一条直线上过该点的P∈α公共直线67891011121314文字语言、图形语言、符号语言的相互转化15161718192021点、线共面问题22232425262728空间两直线位置关系的判定2930313233点共线与线共点问题343536373839404142434445464748495051点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三十八) 平面的基本性质与推论
(建议用时：45分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是( )
A．① B．①④ C．②③ D．③④
A [因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．]
2．如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
D [空间中两条直线的位置关系有：相交、平行和异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．]
3．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
D [由公理3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．]
4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
B [如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图①中A、B、D不共线．
]
① ②
5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
D [根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.]
二、填空题
6．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
∈ [因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.]
7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．
[答案] (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
8．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．
1或2或3 [如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．
②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．]
三、解答题
9．求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点．
[证明] 延长AA1，BB1，设AA1∩BB1＝P，
又BB1?平面BC1，
∴P∈平面BC1，AA1?平面AC1，
∴P∈平面AC1，
∴P为平面BC1和平面AC1的公共点，
又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，
∴P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.
10．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[证明] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一：∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，
∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
[等级过关练]
1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线?α，β重合
C [选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．]
2．下列说法正确的是________．
①两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；
③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．
② [①错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．
②正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．
③错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．
④错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．]
